Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2024
Estatística›Estatística descritiva (análise exploratória de dados)
Código
ce168294
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
BACEN
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista – Área: Economia e Finanças
Supondo que V e W sejam duas variáveis contínuas e mutuamente independentes, tais que P(V > 0) = 0,3 e P(W > 0) = 0,7, julgue o próximo item.Se o desvio padrão de V for igual a 3 e se o desvio padrão de W se for igual a 4, então o desvio padrão da diferença V - W será igual a 5.
CCerto
EErrado
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GabaritoC — Certo
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Variância e desvio padrão da diferença de variáveis independentes
Gabarito: letra C (CERTO). Para variáveis independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias: Var(V − W) = Var(V) + Var(W). Com desvios padrão 3 e 4, as variâncias são 9 e 16, somando 25; o desvio padrão da diferença é √25 = 5. A informação sobre as probabilidades P(V > 0) e P(W > 0) é irrelevante para o cálculo da dispersão.
A questão explora uma propriedade fundamental das medidas de dispersão: a variância de uma combinação linear de variáveis independentes. Quando as variáveis são independentes, a covariância é zero, e a variância da soma ou da diferença é simplesmente a soma das variâncias individuais. Isso vale tanto para a soma quanto para a diferença — o sinal negativo não altera a variância, pois Var(−W) = Var(W).
O erro clássico do candidato é subtrair as variâncias (9 − 16 = −7) ou subtrair os desvios padrão (4 − 3 = 1), o que não tem fundamento estatístico. A variância é sempre não negativa, e a independência garante que não há termo de covariância a subtrair.
Aqui, os dados fornecidos sobre as probabilidades (P(V > 0) = 0,3 e P(W > 0) = 0,7) são um chamariz: não influenciam em nada o cálculo da dispersão. A banca os inclui para testar se o candidato sabe separar o que é relevante do que é ruído.
Variável
Desvio Padrão (DP)
Variância (DP²)
Operação para Var(V − W)
Resultado da Variância
Desvio Padrão de V − W (√Var)
V
3
9
Var(V) + Var(W)
9 + 16 = 25
√25 = 5
W
4
16
—
—
—
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A afirmativa está correta. Como V e W são independentes, a variância da diferença é:
Portanto, o desvio padrão da diferença é exatamente 5, como afirma o item.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A afirmativa de que o desvio padrão seria diferente de 5 está incorreta. O cálculo correto, conforme demonstrado, resulta em 5. Quem marca esta alternativa provavelmente cometeu um dos seguintes erros:
Subtraiu as variâncias: 9 − 16 = −7 (impossível, variância não é negativa);
Subtraiu os desvios padrão: 4 − 3 = 1;
Esqueceu de elevar ao quadrado os desvios antes de somar.
Nenhuma dessas operações é válida. A regra é sempre somar as variâncias quando as variáveis são independentes.
NÃO CAIA NESSA!
A banca insere as probabilidades P(V > 0) = 0,3 e P(W > 0) = 0,7 para induzir o candidato a pensar que precisa usá-las no cálculo. Elas são completamente irrelevantes para a dispersão. Além disso, a tentação de subtrair os desvios (4 − 3 = 1) ou as variâncias (16 − 9 = 7) é forte, mas a regra correta é sempre somar as variâncias quando há independência. Fique atento: em questões de variância de soma/diferença, o sinal nunca importa — o que importa é a independência.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver rapidamente, memorize a propriedade: se X e Y são independentes, então Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y). Na hora da prova, transforme os desvios padrão em variâncias (eleve ao quadrado), some e tire a raiz quadrada. Ignore qualquer informação sobre probabilidades ou médias que não seja necessária para o cálculo da dispersão.