Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
ce169495
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CAU-BR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Advogado

        Os cartões de resposta de certa prova de itens de julgamento certo (C) ou errado (E) foram depositados em uma urna G. A prova consistia de 5 itens, de modo que, em cada cartão de resposta, há 5 campos para marcação C e 5 para marcação E. A pontuação dessa prova foi definida da seguinte maneira: para cada marcação de um item em conformidade com o gabarito da prova, são atribuídos 2 pontos positivos; para cada marcação de um item em desconformidade com o gabarito da prova, são atribuídos 2 pontos negativos; as marcações em branco não acarretam pontuação positiva nem negativa; não é admitida dupla marcação (marcação, para algum item, de ambos os campos C e E). Foi observado, ainda, que


• não existe cartão de respostas depositado na urna G que contenha dupla marcação (marcação de C e E para algum item);


• cada cartão presente na urna G corresponde a uma das distintas possibilidades de preenchimento de cartão de respostas. 



Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.Retirando-se ao acaso um cartão de respostas da urna G, a probabilidade de que seja atribuída nota igual a 2 a esse cartão é igual à probabilidade de que lhe seja atribuída nota igual a − 2.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Probabilidade: simetria entre notas positivas e negativas

Gabarito: CERTO. A probabilidade de obter nota 2 é igual à probabilidade de obter nota −2, pois cada cartão com nota 2 corresponde a exatamente um cartão com nota −2, obtido pela inversão de todas as marcações (C ↔ E). Como a urna contém todas as possibilidades de preenchimento, essa correspondência é uma bijeção, garantindo a igualdade das probabilidades.

Para entender, vamos modelar o problema. Cada cartão tem 5 itens, e para cada item há três possibilidades: marcar C, marcar E ou deixar em branco. A nota é a soma das pontuações de cada item: +2 para acerto, −2 para erro e 0 para branco. A nota 2 pode ser obtida de várias formas, por exemplo, acertando 1 item e errando 0 (1 acerto = 2 pontos), ou acertando 2 itens e errando 1 (2×2 − 1×2 = 2), ou acertando 3 e errando 2, etc. De forma geral, se aa é o número de acertos e ee o número de erros, a nota é 2a−2e=2(a−e)2a - 2e = 2(a-e). Para nota 2, temos a−e=1a - e = 1; para nota −2, temos a−e=−1a - e = -1.

A chave é que a urna contém todas as possibilidades de preenchimento. Para cada cartão com aa acertos e ee erros, existe um cartão "espelho" com ee acertos e aa erros (basta inverter C por E em todos os itens marcados). Esse cartão espelho tem nota 2e−2a=−2(a−e)2e - 2a = -2(a-e). Assim, se o cartão original tem nota 2, o espelho tem nota −2, e vice-versa. Essa correspondência é uma bijeção: cada cartão tem um único espelho, e o espelho do espelho é o próprio cartão. Portanto, o número de cartões com nota 2 é exatamente igual ao número de cartões com nota −2, e como todos os cartões são igualmente prováveis, as probabilidades são iguais.

A pegadinha aqui é pensar que a simetria depende do gabarito específico da prova. Na verdade, a simetria é estrutural: independentemente de qual seja o gabarito, a inversão de todas as marcações transforma um cartão com nota NN em um cartão com nota −N-N. Como a urna contém todas as possibilidades, a contagem de cartões com nota 2 e com nota −2 é sempre a mesma.

Nota 2Nota -2igualigual0LEVELsoulevel.com.br
Distribuição de notas por simetria — só Nota 2: igual; só Nota -2: igual; Nota 2∩Nota -2: 0

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A urna contém todas as possíveis formas de preenchimento, sem dupla marcação. Para cada cartão com nota 2, o cartão obtido invertendo todas as marcações (C vira E e E vira C) tem nota −2, e essa operação é uma bijeção no conjunto de todos os cartões. Logo, o número de cartões com nota 2 é igual ao número de cartões com nota −2, e como a retirada é aleatória, as probabilidades são iguais.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato acreditar que a igualdade depende do gabarito específico da prova. Mas a simetria é independente do gabarito: a inversão C ↔ E sempre transforma nota NN em nota −N-N, e como a urna tem todas as possibilidades, a contagem é simétrica. Não caia na tentação de calcular o número exato de cartões com nota 2 — a simetria dispensa esse cálculo.

Gabarito: CERTO

Link permanente: /questoes/ce169495