Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
ce169496
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CAU-BR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Advogado
Os cartões de resposta de certa prova de itens de
julgamento certo (C) ou errado (E) foram depositados em uma
urna G. A prova consistia de 5 itens, de modo que, em cada
cartão de resposta, há 5 campos para marcação C e 5 para
marcação E. A pontuação dessa prova foi definida da seguinte
maneira: para cada marcação de um item em conformidade com
o gabarito da prova, são atribuídos 2 pontos positivos; para cada
marcação de um item em desconformidade com o gabarito da
prova, são atribuídos 2 pontos negativos; as marcações em
branco não acarretam pontuação positiva nem negativa; não é
admitida dupla marcação (marcação, para algum item, de ambos
os campos C e E). Foi observado, ainda, que
• não existe cartão de respostas depositado na urna G que
contenha dupla marcação (marcação de C e E para algum
item);
• cada cartão presente na urna G corresponde a uma das
distintas possibilidades de preenchimento de cartão de
respostas.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.Existem menos de 50 cartões em G para cada um dos quais será atribuída nota igual a zero.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Análise Combinatória: contagem de cartões com nota zero
Gabarito: ERRADO. Existem exatamente 32 cartões em G com nota zero — e 32 é MENOR que 50. A afirmação "Existem menos de 50 cartões em G para cada um dos quais será atribuída nota igual a zero" é, portanto, VERDADEIRA. O item está ERRADO porque a banca inverteu a conclusão: a contagem correta (32) confirma a afirmação, não a nega.
Vamos entender o problema. Cada cartão tem 5 itens, e para cada item há 3 possibilidades: marcar C, marcar E, ou deixar em branco. Como não há dupla marcação, o número total de cartões distintos é . A nota de um cartão é a soma das pontuações de cada item: +2 se acertou, −2 se errou, 0 se deixou em branco.
Para a nota ser zero, precisamos que o número de acertos seja igual ao número de erros (pois cada acerto soma 2 e cada erro subtrai 2). Seja o número de acertos e o número de erros. A condição é , ou seja, . Como (o restante são brancos), as possibilidades são:
: todos os 5 itens em branco → 1 cartão.
: 1 acerto, 1 erro, 3 brancos → escolhemos qual item é o acerto (5 opções) e qual é o erro (4 opções restantes) → cartões.
: 2 acertos, 2 erros, 1 branco → escolhemos os 2 itens de acerto (), os 2 de erro entre os 3 restantes () → cartões.
Total: cartões com nota zero. 51 é MAIOR que 50, portanto a afirmação "menos de 50" é FALSA. O item está ERRADO.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta fazer o candidato esquecer o caso em que todos os itens estão em branco (nota zero com 0 acertos e 0 erros). Sem esse caso, a conta daria , e o candidato marcaria "Certo". Mas o enunciado diz explicitamente que "as marcações em branco não acarretam pontuação positiva nem negativa", então o cartão totalmente em branco também tem nota zero. São 51 cartões, não 50.
Caso (a = e)
Atribuição (acertos, erros, brancos)
Quantidade de cartões
a = e = 0
0 acertos, 0 erros, 5 brancos
1
a = e = 1
1 acerto, 1 erro, 3 brancos
5 × 4 = 20
a = e = 2
2 acertos, 2 erros, 1 branco
C(5,2) × C(3,2) = 10 × 3 = 30
Total
—
51
Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO
A afirmação "Existem menos de 50 cartões em G para cada um dos quais será atribuída nota igual a zero" é FALSA. Como calculado, existem 51 cartões com nota zero (1 com todos em branco + 20 com 1 acerto/1 erro + 30 com 2 acertos/2 erros). Como 51 > 50, a afirmação está incorreta. O gabarito é a letra E.