Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

Coeficiente angular da regressão linear simples

Gabarito: letra C (CERTO). O coeficiente angular da reta de regressão de Y sobre W é dado por $\hat{\beta}_1 = \frac{Cov(Y,W)}{Var(W)}$. Com $Cov(Y,W) = 60$ e $\sigma_W = 5$, temos $Var(W) = 25$, logo $\hat{\beta}_1 = \frac{60}{25} = 2,4$. O intercepto não nulo não altera o coeficiente angular — ele apenas desloca a reta verticalmente.

Na regressão linear simples, o modelo é $Y = \beta_0 + \beta_1 W + \varepsilon$, em que $\beta_0$ é o intercepto e $\beta_1$ é o coeficiente angular (a inclinação da reta). O estimador de mínimos quadrados para $\beta_1$ é a razão entre a covariância entre a resposta e a regressora e a variância da regressora:

Essa fórmula independe do intercepto: o intercepto é estimado por $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{W}$, mas a inclinação depende apenas da relação linear entre as variáveis. A banca explora exatamente essa confusão: o candidato pode achar que o intercepto não nulo impede o cálculo direto, mas ele é irrelevante para o coeficiente angular.

Substituindo os valores fornecidos:

• $Cov(Y,W) = 60$

• $\sigma_W = 5 \Rightarrow Var(W) = 5^2 = 25$

Portanto, a afirmação está correta.

Gabarito: letra C (CERTO).