Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2024

Covariância, correlação e a desigualdade de Cauchy-Schwarz

Gabarito: letra C — CERTO. A variância de Y deve ser, de fato, igual ou superior a 144. Isso decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada à covariância: o quadrado da covariância entre duas variáveis não pode exceder o produto de suas variâncias. Como a covariância é 60 e o desvio padrão de W é 5 (variância 25), temos $60^2 \le Var(Y) \cdot 25$, o que implica $Var(Y) \ge 144$.

A questão explora um limite fundamental da relação entre duas variáveis: a covariância mede a associação linear entre elas, mas seu valor absoluto é limitado pelas variâncias individuais. Essa limitação é expressa pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, que estabelece que o coeficiente de correlação de Pearson, definido como a covariância dividida pelo produto dos desvios padrão, está sempre no intervalo $[-1, 1]$.

Aplicando essa propriedade ao problema, temos:

1. Dados fornecidos: $Cov(Y, W) = 60$ e $\sigma_W = 5$.

2. Variância de W: $Var(W) = \sigma_W^2 = 5^2 = 25$.

3. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: $[Cov(Y, W)]^2 \le Var(Y) \cdot Var(W)$.

4. Substituindo: $60^2 \le Var(Y) \cdot 25 \Rightarrow 3600 \le 25 \cdot Var(Y)$.

5. Isolando $Var(Y)$: $Var(Y) \ge \frac{3600}{25} = 144$.

Portanto, a variância de Y não pode ser inferior a 144; ela deve ser igual ou superior a esse valor. A afirmação está correta.

A pegadinha aqui é tentar calcular diretamente a variância de Y a partir dos dados, o que é impossível, pois não temos informações suficientes sobre a distribuição de Y. A chave é reconhecer que a questão pede um limite inferior para a variância, e não o valor exato. Esse limite é obtido pela condição de que o coeficiente de correlação deve estar entre -1 e 1.

✅ CERTO. A variância de Y deve ser igual ou superior a 144, conforme demonstrado pela desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Gabarito: letra C