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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — CESPE / CEBRASPE 2024

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
ce169998
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CAU-BR
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Assistente Técnico-Financeiro(a)
Com referência ao cálculo de prestações em financiamentos, julgue o item a seguir.Um financiamento de R$ 250.000,00 será quitado em três prestações iguais de R$ 100.000,00 com vencimentos ocorrendo no 2.º, 6.º e 12.º meses do contrato. Nessa situação, a taxa i de juros desse contrato é a solução da equação:5 ∙ (1 + i)12 − 2 ∙ (1 + i)10 − 2 ∙ (1 + i)6 − 2 = 0.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

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Equação de Valor Presente para Financiamento

✅ CERTO. A equação dada é algebricamente idêntica à condição de equilíbrio financeiro: o valor presente das prestações, descontadas à taxa i, deve igualar o valor financiado. Após manipulação, chega-se exatamente à equação apresentada.

A questão testa a capacidade de montar a equação de valor presente a partir de um fluxo de caixa com prazos não uniformes (2, 6 e 12 meses). O financiamento de R$ 250.000,00 é quitado por três prestações de R$ 100.000,00, cada uma com vencimento em data futura específica. Em juros compostos, o valor presente no momento zero é:

250.000=100.000(1+i)2+100.000(1+i)6+100.000(1+i)12250.000 = \frac{100.000}{(1+i)^2} + \frac{100.000}{(1+i)^6} + \frac{100.000}{(1+i)^{12}}

Multiplicando toda a equação por (1+i)12(1+i)^{12} para eliminar os denominadores:

250.000⋅(1+i)12=100.000⋅(1+i)10+100.000⋅(1+i)6+100.000250.000 \cdot (1+i)^{12} = 100.000 \cdot (1+i)^{10} + 100.000 \cdot (1+i)^6 + 100.000

Dividindo ambos os lados por 100.000:

2,5⋅(1+i)12=(1+i)10+(1+i)6+12,5 \cdot (1+i)^{12} = (1+i)^{10} + (1+i)^6 + 1

Multiplicando por 2 para obter coeficientes inteiros:

5⋅(1+i)12=2⋅(1+i)10+2⋅(1+i)6+25 \cdot (1+i)^{12} = 2 \cdot (1+i)^{10} + 2 \cdot (1+i)^6 + 2

Reorganizando, chega-se exatamente à equação fornecida:

5⋅(1+i)12−2⋅(1+i)10−2⋅(1+i)6−2=05 \cdot (1+i)^{12} - 2 \cdot (1+i)^{10} - 2 \cdot (1+i)^6 - 2 = 0

Portanto, a afirmação está correta. A banca exigiu apenas verificar a equivalência algébrica, sem necessidade de resolver a equação para i.

Caso

Equação original (valor presente)

Manipulação algébrica

Equação final (dada)

Resultado

1

(250.000 = \frac{100.000}{(1+i)^2} + \frac{100.000}{(1+i)^6} + \frac{100.000}{(1+i)^{12}})

Multiplicar por ((1+i)^{12}) e dividir por 100.000

(2,5(1+i)^{12} = (1+i)^{10} + (1+i)^6 + 1)

Equivalente

2

(2,5(1+i)^{12} = (1+i)^{10} + (1+i)^6 + 1)

Multiplicar por 2

(5(1+i)^{12} = 2(1+i)^{10} + 2(1+i)^6 + 2)

Equivalente

3

(5(1+i)^{12} = 2(1+i)^{10} + 2(1+i)^6 + 2)

Reorganizar

(5(1+i)^{12} - 2(1+i)^{10} - 2(1+i)^6 - 2 = 0)

Idêntica à equação do item

  1. 1Fluxo de caixa
  2. 2VP = soma das prestações descontadas
  3. 3Multiplica por (1+i)^12
  4. 4Divide por 100.000
  5. 5Multiplica por 2
  6. 6Reorganiza → equação dada
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Gabarito: ✅ CERTO

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