Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce170756

Análise Combinatória: combinação simples e apertos de mão

Gabarito: letra C (Certo). A quantidade de apertos de mão entre 16 pessoas (10 antigas + 6 novas), onde cada uma cumprimenta todas as outras uma única vez, é dada pela combinação de 16 elementos tomados 2 a 2: $C_{16,2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ . Como 120 é maior que 100, a afirmação de que a quantidade foi inferior a 100 está errada.

O problema envolve o conceito de combinação simples, um dos pilares da análise combinatória. Quando temos um grupo de $n$ pessoas e cada uma aperta a mão de todas as outras exatamente uma vez, o número total de apertos é o número de maneiras de escolher 2 pessoas desse grupo, sem levar em conta a ordem. A fórmula é:

C_{n,2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1)}{2}

No caso, o grupo total é formado por 10 servidores antigos + 6 novos = 16 pessoas. Aplicando a fórmula:

C_{16,2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120

Portanto, o número de apertos de mão é 120, que é superior a 100. A banca explora a pegadinha de o candidato calcular apenas os apertos entre os novos servidores ( $C_{6,2} = 15$ ) ou entre novos e antigos ( $6 \times 10 = 60$ ), esquecendo de incluir os apertos entre os próprios servidores antigos. O enunciado é claro: "cada um dos novos servidores tiver apertado a mão de cada um de seus colegas, tanto os novos quanto os antigos". Isso significa que todos os 16 servidores se cumprimentam entre si, sem exceção.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a calcular apenas os apertos envolvendo os novos servidores (entre eles e com os antigos), obtendo $C_{6,2} + 6 \times 10 = 15 + 60 = 75$ , que é inferior a 100. Mas o texto diz que cada novo apertou a mão de cada um de seus colegas, tanto os novos quanto os antigos — ou seja, todos os 16 se cumprimentam. O correto é $C_{16,2} = 120$ . Fique atento ao alcance do "cada um de seus colegas".

Cenário	Cálculo	Resultado
Apenas novos entre si	$(C_{6,2} = \frac{6 \times 5}{2})$	15
Novos com antigos	$(6 \times 10)$	60
Apenas antigos entre si	$(C_{10,2} = \frac{10 \times 9}{2})$	45
Total correto	(15 + 60 + 45)	120
Comparação com 100	(120 > 100)	Afirmação falsa → item Certo

Alternativa C — ✅ Certo

A afirmação está correta (no sentido de que o item é verdadeiro, pois a quantidade de apertos é 120, que é superior a 100). O cálculo é:

Total de pessoas: 10 + 6 = 16.
Cada aperto envolve 2 pessoas.
Número de apertos = $C_{16,2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ .

Como 120 > 100, a proposição "a quantidade de apertos de mão foi inferior a 100" é falsa. Portanto, o item está Certo (C).

Alternativa E — ❌ Errado

A alternativa E afirma que o item é Errado (E), ou seja, que a quantidade de apertos seria inferior a 100. Isso está incorreto, pois o número real é 120, que é maior que 100. Quem marca E provavelmente cometeu um dos seguintes erros:

Calculou apenas os apertos entre os 6 novos: $C_{6,2} = 15$ .
Calculou apenas os apertos entre novos e antigos: $6 \times 10 = 60$ .
Somou os dois anteriores: $15 + 60 = 75$ (esquecendo os apertos entre os 10 antigos, que são $C_{10,2} = 45$ ).

O total correto é $75 + 45 = 120$ .

Gabarito: letra C (Certo).

Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise Combinatória: combinação simples e apertos de mão

Alternativa C — ✅ Certo

Alternativa E — ❌ Errado