Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce173390

Correlação de Pearson e variância

Gabarito: letra C. A variância de X é 2,50. Isso decorre da definição do coeficiente de correlação de Pearson: $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ . Como X e Y têm a mesma variância, $\sigma_X = \sigma_Y$ , e a fórmula se reduz a $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X^2}$ . Substituindo $\rho = 0,8$ e $Cov(X,Y) = 2$ , obtém-se $\sigma_X^2 = \frac{2}{0,8} = 2,50$ .

O coeficiente de correlação linear de Pearson mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Ele é definido como a razão entre a covariância e o produto dos desvios-padrão das duas variáveis. Essa é uma medida adimensional, sempre entre -1 e 1, o que permite comparar a intensidade da relação entre diferentes pares de variáveis, independentemente das unidades de medida.

A chave desta questão está em perceber que, como as variâncias são iguais, os desvios-padrão também são iguais. Isso simplifica a fórmula, pois o produto $\sigma_X \sigma_Y$ vira $\sigma_X^2$ . A partir daí, basta isolar a variância na equação. A banca explora exatamente a confusão entre variância e desvio-padrão: muitos candidatos tentam usar a covariância diretamente ou esquecem de elevar ao quadrado o desvio-padrão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,40 é o resultado de uma inversão incorreta da fórmula: seria obtido calculando $\frac{0,8}{2} = 0,4$ , ou seja, dividindo a correlação pela covariância, quando o correto é dividir a covariância pela correlação. Não corresponde a nenhuma grandeza relevante do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,20 também não tem fundamento. Poderia surgir de um erro de cálculo como $\frac{0,8}{2} \times 0,5$ ou de uma confusão entre variância e desvio-padrão, mas não há nenhuma operação válida que leve a esse número.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a fórmula: $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ . Como $\sigma_X = \sigma_Y$ , temos $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X^2}$ . Substituindo os valores: $0,8 = \frac{2}{\sigma_X^2}$ , logo $\sigma_X^2 = \frac{2}{0,8} = 2,50$ . A variância de X é exatamente 2,50.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2,00 é simplesmente o valor da covariância, sem qualquer transformação. A banca coloca esse distrator para testar se o candidato entende que a covariância não é a variância, e que é preciso aplicar a fórmula da correlação para chegar ao resultado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1,25 é a metade de 2,50. Poderia ser obtido se o candidato, após calcular corretamente a variância, dividisse por 2 por engano, ou se confundisse a fórmula da covariância com a da correlação. Não há justificativa estatística para esse número.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a variância pelo desvio-padrão. Muitos candidatos, ao verem "mesma variância", pensam em $\sigma_X = \sigma_Y$ e usam a fórmula $\rho = \frac{Cov}{\sigma^2}$ , mas esquecem de que a variância é o quadrado do desvio-padrão. Aqui, como a questão já dá a covariância e a correlação, a resolução é direta: $\sigma_X^2 = \frac{Cov}{\rho} = \frac{2}{0,8} = 2,50$ . Fique atento: se a questão pedisse o desvio-padrão, a resposta seria $\sqrt{2,50} \approx 1,58$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de correlação, sempre escreva a fórmula completa antes de substituir: $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ . Depois, verifique se há alguma relação entre os desvios-padrão (iguais, proporcionais, etc.) que simplifique o cálculo. Isso evita erros de inversão e garante que você use todos os dados fornecidos.

Gabarito: letra C.