Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise Combinatória: divisão em turmas com restrição

Gabarito: letra C (Certo). O número de maneiras de dividir os dez membros em duas turmas de cinco, com Luzia e Cristiano juntos, é 56 — calculado por $ C(8,3) = 56$ (escolhendo os 3 companheiros de turma entre os 8 restantes, já que os dois amigos ocupam 2 das 5 vagas). Como 56 > 50, a afirmação está correta.

O problema é um clássico de combinação com restrição. Temos 10 pessoas para dividir em dois grupos de 5, mas com a condição de que Luzia e Cristiano fiquem juntos. A chave é perceber que, ao fixar os dois na mesma turma, restam apenas 3 vagas para preencher nessa turma, escolhidas entre as 8 pessoas restantes. A outra turma é automaticamente formada pelos 5 que sobraram.

A fórmula da combinação é $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, que conta quantos subconjuntos de $k$ elementos podemos formar a partir de um conjunto de $n$ elementos, sem considerar a ordem. Aqui, $n=8$ (pessoas disponíveis) e $k=3$ (vagas restantes na turma de Luzia e Cristiano).

Calculando: $C(8,3) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

Como 56 é maior que 50, a afirmação "Há mais de 50 maneiras distintas" é verdadeira.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O cálculo mostra que há exatamente 56 maneiras de distribuir os membros com Luzia e Cristiano na mesma turma, e 56 > 50. A resolução é direta: fixar o par na turma e combinar os 3 restantes entre os 8 disponíveis.

Alternativa E — ❌ ERRADO

A afirmação de que não há mais de 50 maneiras está incorreta, pois o número real é 56, que excede 50. O erro comum seria calcular sem a restrição (resultando em 126 maneiras) ou considerar a ordem das turmas (o que dobraria o valor), mas o raciocínio correto leva a 56.

Gabarito: letra C