Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise Combinatória: divisão em grupos

Gabarito: letra E (ERRADO). O número de maneiras de dividir 10 pessoas em duas turmas de 5 é dado por $\frac{C_{10,5}}{2} = \frac{252}{2} = 126$, que é menor que 1.000. A divisão por 2 é necessária porque as duas turmas são indistinguíveis — escolher as 5 pessoas da turma A automaticamente define a turma B, e a ordem das turmas não importa.

O problema clássico de dividir um grupo em subgrupos de tamanhos iguais é resolvido com combinação, não com arranjo ou permutação. A ordem dos elementos dentro de cada turma não importa, e a ordem entre as turmas também não. A pegadinha aqui é esquecer de dividir por 2, o que levaria a 252 maneiras — ainda assim, menos de 1.000, mas o raciocínio estaria errado.

Vamos ao cálculo detalhado:

1. Escolher 5 pessoas para a primeira turma: $C_{10,5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252$.

2. As 5 restantes formam a segunda turma automaticamente.

3. Como as turmas são indistinguíveis (não há "turma A" e "turma B" nomeadas), cada divisão foi contada duas vezes: uma vez quando escolhemos o grupo X e outra quando escolhemos o grupo complementar. Portanto, dividimos por 2: $\frac{252}{2} = 126$.

O resultado é 126 maneiras, que é menor que 1.000. A afirmação "Há mais de 1.000 maneiras" é falsa.

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O número correto de maneiras é 126, não mais de 1.000. O erro do candidato seria calcular apenas $C_{10,5} = 252$ e, mesmo assim, 252 é menor que 1.000. Para chegar a um número maior que 1.000, seria preciso considerar as turmas como distintas (o que daria 252, ainda insuficiente) ou usar arranjo (o que não se aplica, pois a ordem dentro da turma não importa). O valor 126 é bem inferior a 1.000, então a assertiva é falsa.

Gabarito: letra E (ERRADO).