Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise Combinatória: divisão de um colegiado em duas turmas

Gabarito: letra C (CERTO). O número de maneiras de dividir os dez membros em duas turmas de cinco, com Luzia e Cristiano juntos e André e Alex separados, é 40, que é menor que 50. O cálculo combina o princípio fundamental da contagem com combinações simples, tratando as restrições como etapas de escolha.

O problema pede uma contagem com restrições. Temos 10 pessoas para dividir em dois grupos de 5, mas com condições específicas: Luzia e Cristiano devem ficar juntos, e André e Alex devem ficar separados. A chave é tratar cada restrição como uma etapa de escolha, usando o princípio multiplicativo.

Primeiro, vamos entender a estrutura. Como as turmas são definidas por seus 5 membros, escolher os 5 membros de uma turma automaticamente define a outra. Além disso, como as duas turmas têm "igual autoridade" e "todos os membros têm igual função", a ordem das turmas não importa — escolher o grupo {A, B, C, D, E} para a turma 1 e {F, G, H, I, J} para a turma 2 é o mesmo que o contrário. Isso é crucial para não contar cada divisão duas vezes.

Vamos resolver por etapas:

1. Luzia e Cristiano juntos: Trate-os como um bloco único. Agora temos 9 "unidades" para distribuir: o bloco (L+C) e as outras 8 pessoas.

2. André e Alex separados: Eles não podem estar no mesmo grupo. Vamos escolher o grupo do André e depois garantir que Alex não esteja nele.

Método de resolução:

• Caso 1: O bloco (L+C) está na turma do André.

  • André está na turma. O bloco (L+C) também está. Precisamos escolher mais 2 pessoas para completar os 5 da turma do André, entre as 6 restantes (excluindo André, o bloco e Alex). Isso é uma combinação de 6 escolhe 2: $C_{6,2} = \frac{6!}{2!4!} = 15$.

  • A turma do André está definida. A outra turma é formada automaticamente pelos 5 restantes (que incluem Alex).

  • Total para o Caso 1: 15 maneiras.

• Caso 2: O bloco (L+C) está na turma do Alex.

  • Por simetria, o número de maneiras é o mesmo que no Caso 1: escolher 2 pessoas entre as 6 restantes para completar a turma do Alex (que já tem Alex e o bloco). $C_{6,2} = 15$.

  • Total para o Caso 2: 15 maneiras.

• Caso 3: O bloco (L+C) não está nem na turma do André nem na do Alex.

  • André está em uma turma. Precisamos escolher 4 pessoas para completar a turma dele, entre as 6 que não são André, Alex, nem o bloco (L+C). Isso é $C_{6,4} = \frac{6!}{4!2!} = 15$.

  • A turma do André está definida. A outra turma terá Alex, o bloco (L+C) e as 2 pessoas restantes.

  • Total para o Caso 3: 15 maneiras.

Somando os três casos: $15 + 15 + 15 = 45$ maneiras.

Mas espera! Precisamos verificar se contamos cada divisão duas vezes. No nosso método, sempre definimos a turma do André. Como André está sempre em uma turma específica, e a outra é o complemento, cada divisão é contada exatamente uma vez. Portanto, o total é 45.

Conferindo com outro método:

Podemos pensar em escolher a turma do André. André está em uma turma. Precisamos escolher 4 dos outros 9 para estarem com ele, mas com as restrições:

• Alex não pode estar.

• Luzia e Cristiano devem estar juntos, ou seja, ou ambos estão com André, ou ambos não estão.

Vamos separar em casos:

• L e C estão com André: Precisamos escolher 2 pessoas entre as 6 restantes (excluindo André, Alex, L e C). $C_{6,2} = 15$.

• L e C não estão com André: Precisamos escolher 4 pessoas entre as 6 restantes (excluindo André, Alex, L e C). $C_{6,4} = 15$.

Total: $15 + 15 = 30$.

Aqui está o erro do primeiro método! No Caso 1 e no Caso 2, quando o bloco (L+C) está com André ou com Alex, estamos contando as divisões onde o bloco está com um deles. Mas no Caso 3, o bloco não está com nenhum. No segundo método, o Caso 1 (L e C com André) corresponde ao Caso 1 do primeiro método, e o Caso 2 (L e C não estão com André) corresponde aos Casos 2 e 3 do primeiro método juntos. Vamos ver:

• No segundo método, se L e C não estão com André, eles estão com Alex. Mas isso não é uma condição separada; é automático. Então, o número de maneiras de escolher os 4 companheiros de André, sem Alex, L e C, é $C_{6,4} = 15$. Isso já cobre todos os casos onde L e C estão com Alex.

Portanto, o total correto é $15 + 15 = 30$.

Vamos verificar com um terceiro método, mais direto:

1. Escolha a turma do André: André está em uma turma. Precisamos escolher 4 dos outros 9 para estarem com ele, mas Alex não pode. Então, escolhemos 4 entre 8 (excluindo Alex). $C_{8,4} = 70$.

2. Agora, aplique a restrição de L e C: Das 70 divisões, quantas têm L e C separados? Vamos calcular o total sem restrição e subtrair.

   • Total sem restrição (André e Alex separados): $C_{8,4} = 70$.

   • Divisões onde L e C estão separados: L está com André e C não, ou vice-versa.

     • L com André, C não: escolher 3 dos 6 restantes (excluindo André, Alex, L e C) para completar a turma do André. $C_{6,3} = 20$.

     • C com André, L não: $C_{6,3} = 20$.

   • Divisões onde L e C estão juntos: $70 - 20 - 20 = 30$.

Conclusão: O número de maneiras é 30, que é menor que 50. Portanto, a afirmação está CERTA.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

O item afirma que há menos de 50 maneiras. Calculamos que há exatamente 30 maneiras de dividir o colegiado nas condições dadas. Como 30 < 50, a afirmação é verdadeira.

Resumo do cálculo:

1. André está em uma turma. Alex não pode estar na mesma. Escolhemos os 4 companheiros de André entre os 8 restantes (excluindo Alex): $C_{8,4} = 70$.

2. Desses 70, subtraímos os casos em que Luzia e Cristiano ficam separados:

   • Luzia com André e Cristiano não: $C_{6,3} = 20$.

   • Cristiano com André e Luzia não: $C_{6,3} = 20$.

3. Total de divisões válidas: $70 - 20 - 20 = 30$.

Como 30 é menor que 50, o item está correto.

Gabarito: letra C