Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2024

Deslocamento vetorial: encontrando o caminho mais curto

Gabarito: ERRADO. O explorador percorreu 9 km no total, mas o deslocamento resultante (a distância em linha reta entre o ponto de partida e o de chegada) é de 2 km para o leste. Para chegar ao destino caminhando menos, ele poderia ter caminhado 2 km para o leste — não 2 km para o sudeste. A direção sudeste forma um ângulo de 45° com o leste, o que não corresponde ao deslocamento vetorial calculado.

Vamos entender o problema. O explorador caminhou em uma sequência de segmentos: 1 km norte, 3 km leste, 3 km sul, 1 km oeste e 1 km norte. Para saber o caminho mais curto entre o ponto inicial e o final, precisamos calcular o vetor deslocamento resultante, que é a soma vetorial de todos os deslocamentos. Esse vetor aponta diretamente do ponto de partida ao ponto de chegada, e seu módulo é a distância em linha reta — o menor caminho possível.

A soma vetorial pode ser feita separando os deslocamentos nas direções norte-sul (eixo vertical) e leste-oeste (eixo horizontal). Vamos calcular:

• Direção norte-sul: 1 km norte + 3 km sul + 1 km norte = (1 − 3 + 1) km = −1 km, ou seja, 1 km para o sul.

• Direção leste-oeste: 3 km leste + 1 km oeste = (3 − 1) km = 2 km para o leste.

Portanto, o deslocamento resultante é de 2 km para o leste e 1 km para o sul. O módulo desse vetor é dado pelo Teorema de Pitágoras:

A direção desse vetor não é exatamente sudeste (que seria 45° entre sul e leste), mas sim um ângulo cuja tangente é 1/2, ou seja, aproximadamente 26,6° abaixo do leste. Caminhar 2 km para o sudeste levaria o explorador a um ponto diferente do destino, pois o sudeste tem componentes iguais de 1,41 km para o leste e 1,41 km para o sul — o que não coincide com o deslocamento necessário.

A pegadinha da banca está em confundir o deslocamento vetorial (que é o caminho mais curto) com a distância total percorrida (que é a soma de todos os segmentos). O explorador percorreu 9 km, mas o caminho mais curto é de aproximadamente 2,24 km — e a direção correta é ligeiramente ao sul do leste, não sudeste.

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação de que o explorador poderia ter caminhado 2 km para o sudeste está errada. O deslocamento resultante é de 2 km para o leste e 1 km para o sul, cujo módulo é $\sqrt{5}$ km (aproximadamente 2,24 km), e a direção não é sudeste. Caminhar 2 km para o sudeste significaria percorrer 2 km em uma direção que forma 45° com o leste e o sul, o que resultaria em componentes de $2 \cdot \cos 45° = \sqrt{2}$ km para o leste e $\sqrt{2}$ km para o sul — diferente do deslocamento necessário. Portanto, a alternativa é ERRADA.

Gabarito: ERRADO.