Questão de Matemática — Progressões — CESPE / CEBRASPE 2024

Sequência numérica: padrão de formação e termo geral

Gabarito: CERTO. A sequência 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257... segue o padrão em que cada termo é o dobro do anterior menos 1 (ou, equivalentemente, $a_n = 2^n + 1$). O 15º termo é $2^{15} + 1 = 32.769$, que é superior a 60.000? Não — 32.769 é menor que 60.000. Portanto, a afirmação de que o primeiro termo superior a 60.000 é o 15º está ERRADA.

Vamos entender o padrão. Observe as diferenças entre termos consecutivos: 9−5=4, 17−9=8, 33−17=16, 65−33=32, 129−65=64, 257−129=128. As diferenças dobram a cada passo, o que indica que a sequência não é uma progressão aritmética, mas sim uma sequência com padrão de formação específico. Cada termo pode ser obtido pela fórmula $a_n = 2^n + 1$: para n=1, $2^1+1=3$? Não, o primeiro termo é 5. Vamos ajustar: $a_n = 2^{n+1} + 1$? Para n=1, $2^2+1=5$; para n=2, $2^3+1=9$; para n=3, $2^4+1=17$. Sim, a fórmula correta é $a_n = 2^{n+1} + 1$. Outra forma de ver: cada termo é o dobro do anterior menos 1 (5×2−1=9, 9×2−1=17, etc.).

Agora, vamos calcular o 15º termo: $a_{15} = 2^{16} + 1 = 65.536 + 1 = 65.537$. Esse valor é superior a 60.000. Mas precisamos verificar se o 15º é o PRIMEIRO termo superior a 60.000. Vamos calcular o 14º termo: $a_{14} = 2^{15} + 1 = 32.768 + 1 = 32.769$, que é menor que 60.000. Portanto, o 15º termo (65.537) é, de fato, o primeiro termo superior a 60.000. A afirmação está CORRETA.

Item — ✅ CERTO

O item afirma que o primeiro termo com valor superior a 60.000 é o 15º. Vamos verificar:

• Padrão: cada termo é o dobro do anterior menos 1.

• Fórmula do termo geral: $a_n = 2^{n+1} + 1$.

• 14º termo: $a_{14} = 2^{15} + 1 = 32.769$ (menor que 60.000).

• 15º termo: $a_{15} = 2^{16} + 1 = 65.537$ (maior que 60.000).

Como o 14º termo é 32.769 e o 15º é 65.537, o 15º é, de fato, o primeiro termo superior a 60.000. A afirmação está correta.

Gabarito: CERTO