Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — CESPE / CEBRASPE 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4 (alternativa C).

A ideia por trás

Quando uma pesquisa envolve três grupos que podem se sobrepor, usamos o princípio da inclusão-exclusão para contar quantas pessoas estão em cada região sem errar. Esse princípio diz que, para saber o total de pessoas que estão em pelo menos um dos grupos, somamos os tamanhos de cada grupo, depois subtraímos as interseções de dois a dois (porque quem está em dois grupos foi contado duas vezes), e por fim somamos a interseção dos três (porque ela foi subtraída três vezes, mas deveria ser subtraída apenas uma). A fórmula é: n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C). Nesta questão, o total é 79, os tamanhos dos grupos são 35, 35 e 30, e as interseções duplas são 11, 8 e 6. O que falta é exatamente a interseção tripla, que vamos descobrir isolando-a na equação.

O que a questão dá

• total de entrevistados = 79

• jogam futebol = 35

• praticam natação = 35

• jogam tênis = 30

• futebol e natação = 11

• natação e tênis = 8

• tênis e futebol = 6

• todos praticam algum esporte

O que queremos: o número de entrevistados que praticam os três esportes (futebol, natação e tênis)

Passo 1 — Montar a equação da união dos três conjuntos

Como todos os 79 entrevistados praticam algum esporte, a união dos três conjuntos (futebol, natação e tênis) é exatamente 79. Precisamos relacionar esse total com os dados das interseções para descobrir o valor desconhecido x.

Por que esta fórmula: A fórmula do princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos é a única que relaciona o total da união com os tamanhos individuais e as interseções, corrigindo as contagens duplas e triplas.

De onde vem cada valor: $n(A \cup B \cup C)$ = enunciado: 79 (todos praticam algum esporte) · $n(A)$ = enunciado: 35 (futebol) · $n(B)$ = enunciado: 35 (natação) · $n(C)$ = enunciado: 30 (tênis) · $n(A \cap B)$ = enunciado: 11 (futebol e natação) · $n(A \cap C)$ = enunciado: 6 (tênis e futebol) · $n(B \cap C)$ = enunciado: 8 (natação e tênis) · $n(A \cap B \cap C)$ = é o que queremos, chamaremos de x

Passo 2 — Calcular a soma dos tamanhos individuais

Para simplificar a equação, precisamos somar os três tamanhos de conjuntos (35 + 35 + 30) e as três interseções duplas (11 + 6 + 8). Isso reduz a expressão a números menores.

Por que esta fórmula: A soma dos tamanhos individuais é o primeiro passo da fórmula; a soma das interseções duplas é o segundo. Fazemos essas contas separadamente para evitar erros de aritmética.

De onde vem cada valor: $35$ = enunciado: praticam natação · $30$ = enunciado: jogam tênis

Passo 3 — Calcular a soma das interseções duplas

Agora somamos as três interseções duplas (11, 6 e 8) para subtraí-las da soma anterior. Isso corrige a contagem dupla de quem está em dois esportes.

Por que esta fórmula: A fórmula exige subtrair cada interseção dupla uma vez; somá-las primeiro facilita a substituição na equação.

De onde vem cada valor: $11$ = enunciado: futebol e natação · $6$ = enunciado: tênis e futebol · $8$ = enunciado: natação e tênis

Passo 4 — Substituir os valores na equação

Com as somas calculadas, substituímos na equação original para obter uma expressão simples com a incógnita x.

Por que esta fórmula: A equação da inclusão-exclusão agora fica 79 = 100 - 25 + x, que é mais fácil de resolver.

De onde vem cada valor: $79$ = passo 1 · $100$ = passo 2 · $25$ = passo 3 · $x$ = passo 1

Passo 5 — Resolver a equação para x

Agora temos uma equação do primeiro grau simples. Precisamos isolar x para encontrar o valor da interseção tripla.

Por que esta fórmula: Para isolar x, subtraímos 75 de ambos os lados da equação 79 = 75 + x.

De onde vem cada valor: $79$ = passo 4 · $75$ = passo 4: 100 - 25 = 75

Resposta: 4 (alternativa C)