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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
ce174818
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ITAIPU BINACIONAL
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Profissional de Nível Técnico I - Função: Administrativo
Se 4 engenheiros levam 3 horas para realizar a manutenção preventiva em 2 unidades geradoras de Itaipu, então, mantendo-se essa proporção, 3 engenheiros realizariam a manutenção preventiva em 20 unidades geradoras em
  1. A60 horas.
  2. B45 horas.
  3. C40 horas.
  4. D30 horas.
  5. E15 horas.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 40 horas.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 40 horas (alternativa C).

A ideia por trás

A regra de três composta é um método para resolver problemas que envolvem três ou mais grandezas proporcionais. Ela é usada quando queremos descobrir um valor desconhecido a partir de outros valores conhecidos, mantendo a mesma proporção entre as grandezas. Nesse tipo de problema, é fundamental identificar quais grandezas são diretamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção) e quais são inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção).

Nesta questão, temos três grandezas: número de engenheiros, tempo em horas e quantidade de unidades geradoras. O tempo é diretamente proporcional ao número de unidades (mais unidades exigem mais tempo) e inversamente proporcional ao número de engenheiros (mais engenheiros reduzem o tempo). Para montar a regra de três composta, devemos inverter a razão da grandeza inversamente proporcional (engenheiros) e manter a razão da grandeza diretamente proporcional (unidades).

O que a questão cobra é exatamente essa análise de proporcionalidade: saber inverter a razão correta e montar a equação. O erro mais comum é não inverter a razão dos engenheiros, o que levaria a um resultado errado.

O que a questão dá

  • 4 engenheiros

  • 3 horas

  • 2 unidades geradoras

  • 3 engenheiros

  • 20 unidades geradoras

O que queremos: o tempo em horas para 3 engenheiros realizarem a manutenção em 20 unidades geradoras

Passo 1 — Identificar as grandezas e a incógnita

Antes de montar qualquer conta, precisamos saber quais são as grandezas envolvidas e qual delas queremos descobrir. Aqui, as grandezas são: número de engenheiros, tempo em horas e quantidade de unidades geradoras. A incógnita é o tempo (x) para a nova situação.

NÃO CAIA NESSA!

Não identificar corretamente qual grandeza é a incógnita, confundindo o tempo com outra grandeza.

Passo 2 — Comparar engenheiros com horas

Para montar a regra de três composta, precisamos saber como cada grandeza se relaciona com a que contém a incógnita (horas). Comparando engenheiros com horas: se aumentarmos o número de engenheiros, o tempo para fazer o mesmo serviço diminui. Portanto, são inversamente proporcionais.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que são diretamente proporcionais, o que levaria a não inverter a razão.

Passo 3 — Comparar unidades com horas

Agora comparamos unidades geradoras com horas: se aumentarmos o número de unidades, o tempo necessário aumenta. Portanto, são diretamente proporcionais.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que são inversamente proporcionais, invertendo a razão indevidamente.

Passo 4 — Montar a proporção composta

Com as relações de proporcionalidade identificadas, montamos a equação da regra de três composta. A razão com a incógnita (3/x) fica de um lado; do outro, multiplicamos as razões das outras grandezas, invertendo a razão dos engenheiros (por serem inversamente proporcionais) e mantendo a das unidades (por serem diretamente proporcionais).

Por que esta fórmula: Esta é a forma padrão da regra de três composta: igualamos a razão da grandeza desconhecida ao produto das razões das demais, invertendo as que são inversamente proporcionais.

3x=34×220\frac{3}{x} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{20}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 horas (tempo inicial) · xx = incógnita: tempo procurado · 34\frac{3}{4} = engenheiros: 3 (novo) sobre 4 (original), invertido por ser inversamente proporcional · 220\frac{2}{20} = unidades: 2 (original) sobre 20 (novo), mantido por ser diretamente proporcional

3x=34×220\frac{3}{x} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{20}
NÃO CAIA NESSA!

Não inverter a razão dos engenheiros, montando 3x\frac{3}{x} = 43\frac{4}{3} ×\times 220\frac{2}{20}, o que daria um resultado errado.

Passo 5 — Simplificar a multiplicação das frações

Para resolver a equação, primeiro simplificamos o produto das frações do lado direito, facilitando o cálculo.

Por que esta fórmula: Multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si, e simplificamos a fração resultante.

34×220=3×24×20=680=340\frac{3}{4} \times \frac{2}{20} = \frac{3 \times 2}{4 \times 20} = \frac{6}{80} = \frac{3}{40}

De onde vem cada valor: 33 = numerador da primeira fração · 22 = numerador da segunda fração · 44 = denominador da primeira fração · 2020 = denominador da segunda fração

34×220=680=340=3 /40\frac{3}{4} \times \frac{2}{20} = \frac{6}{80} = \frac{3}{40} = \boxed{3\ /40}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar a fração, dificultando o cálculo seguinte.

Passo 6 — Resolver a proporção para x

Agora temos uma proporção simples: 3/x = 3/40. Para encontrar x, multiplicamos cruzado.

Por que esta fórmula: Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Assim, 3 * 40 = 3 * x.

3×40=3×x3 \times 40 = 3 \times x

De onde vem cada valor: 33 = numerador da fração direita (passo 5) · 4040 = denominador da fração direita (passo 5) · xx = denominador da fração esquerda (incógnita)

3×40=3×x3 \times 40 = 3 \times x
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado: 3*40 = 120, mas esquecer de dividir por 3 depois.

Passo 7 — Isolar x e obter o tempo

Para finalizar, isolamos x dividindo ambos os lados por 3, obtendo o valor do tempo.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados da equação por 3, cancelamos o 3 do lado direito e ficamos com x = 120/3.

x=1203x = \frac{120}{3}

De onde vem cada valor: 120120 = resultado de 3 × 40 (passo 6) · 33 = coeficiente de x (passo 6)

x=1203=40 horasx = \frac{120}{3} = \boxed{40\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 120/3 = 40, mas alguns podem calcular 120/4 = 30.

Resposta: 40 horas (alternativa C)

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