Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade: Distribuição Binomial

Gabarito: letra C. A situação descrita segue uma distribuição binomial, pois envolve um número fixo de ensaios independentes ($n=10$), cada um com dois resultados possíveis (defeituoso ou não) e probabilidade constante de sucesso ($p=0,1$). A fórmula da probabilidade binomial é dada por $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, onde, neste caso, $n=10$ e $k=2$.

A distribuição binomial é aplicada quando realizamos $n$ repetições independentes de um experimento de Bernoulli. Cada ensaio possui uma probabilidade $p$ de sucesso (neste caso, o componente apresentar defeito) e uma probabilidade $q = 1-p$ de fracasso (o componente não apresentar defeito). Para encontrar a probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos em $n$ tentativas, multiplicamos o número de combinações possíveis de escolher $k$ posições entre $n$ tentativas pelo produto das probabilidades de sucesso e fracasso elevadas às suas respectivas frequências.

No enunciado, temos:

• $n = 10$ (total de componentes);

• $k = 2$ (número de componentes com defeito);

• $p = 0,1$ (probabilidade de defeito);

• $q = 1 - 0,1 = 0,9$ (probabilidade de não defeito).

Substituindo na fórmula: $P(X=2) = \binom{10}{2} (0,1)^2 (0,9)^{10-2} = \binom{10}{2} (0,1)^2 (0,9)^8$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta apenas o produto das probabilidades, omitindo o coeficiente binomial $\binom{10}{2}$, que representa o número de formas distintas de escolher quais dos 10 componentes apresentarão defeito.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa realiza uma operação aritmética sem qualquer fundamentação na teoria das probabilidades ou na fórmula da distribuição binomial.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a expressão correta da distribuição binomial para o problema: o coeficiente binomial $\binom{10}{2}$ multiplicado pela probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos e pela probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa soma as probabilidades em vez de multiplicá-las, o que contraria a regra do produto para eventos independentes na distribuição binomial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa utiliza uma estrutura algébrica incorreta, somando as potências dentro do parêntese e multiplicando pelo coeficiente binomial, o que não corresponde à fórmula da probabilidade binomial.