Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce175232

Regressão linear simples: interpretação do coeficiente angular

Gabarito: letra E. Em uma regressão linear simples $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ , um coeficiente angular $\beta_1 = 0$ indica que não existe relação linear entre X e Y — a reta ajustada fica horizontal, paralela ao eixo X, e o valor de Y não varia com X. Essa é a interpretação direta do parâmetro: ele mede a variação esperada em Y para cada aumento unitário em X; se é zero, não há efeito linear de X sobre Y.

O coeficiente angular (também chamado de inclinação ou declive) é o parâmetro $\beta_1$ na equação da reta. Ele quantifica quanto Y varia, em média, quando X aumenta em uma unidade. Quando $\beta_1 = 0$ , a reta ajustada é $Y = \beta_0$ : uma reta horizontal, que não depende de X. Isso significa que, dentro do modelo linear, X não tem poder explicativo sobre Y — não há relação linear entre as variáveis.

É importante distinguir ausência de relação linear de ausência de relação em sentido amplo. Pode existir uma relação não linear (quadrática, exponencial, etc.) mesmo com $\beta_1 = 0$ ; o que o coeficiente angular nulo afirma é apenas que a reta não capta nenhuma tendência linear. Além disso, o coeficiente angular nulo não implica que as variáveis sejam independentes — apenas que a covariância linear é zero.

A banca explora aqui a confusão entre o coeficiente angular e outros conceitos: a origem da reta, a variância, a direção do eixo e a força da correlação. Vamos analisar cada alternativa.

Caso	Hipótese testada	Resultado
A	Reta passa pela origem (0,0)	Incorreta
B	Variância é nula	Incorreta
C	Reta paralela ao eixo Y	Incorreta
D	X e Y fortemente correlacionados	Incorreta
E	Não existe relação linear entre X e Y	Correta

Alternativa A — ❌ Incorreta

A reta não necessariamente passa pela origem quando o coeficiente angular é zero. A equação fica $Y = \beta_0$ , e o intercepto $\beta_0$ pode ser qualquer valor. A reta passa pela origem apenas se $\beta_0 = 0$ também. O coeficiente angular nulo não impõe nenhuma condição sobre o intercepto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Coeficiente angular nulo não implica variância nula. A variância de Y (ou dos resíduos) pode ser qualquer valor positivo. A variância mede a dispersão dos dados, enquanto o coeficiente angular mede a inclinação da reta — são conceitos independentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A reta com coeficiente angular zero é paralela ao eixo X, não ao eixo Y. Uma reta paralela ao eixo Y teria coeficiente angular indefinido (infinita inclinação), o que não ocorre em regressão linear simples com X variável. A banca inverte os eixos: a reta horizontal é paralela ao eixo das abscissas (X).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Coeficiente angular nulo indica ausência de correlação linear, não correlação forte. Na regressão linear simples, o coeficiente de correlação de Pearson $r$ tem o mesmo sinal de $\beta_1$ e, se $\beta_1 = 0$ , então $r = 0$ (desde que o desvio padrão de X seja positivo). Portanto, os valores de X e Y não estão correlacionados linearmente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Quando $\beta_1 = 0$ , a reta ajustada é horizontal e não existe relação linear entre X e Y. O valor de Y não depende de X no modelo linear. Essa é a interpretação correta e direta do coeficiente angular nulo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o conceito de coeficiente angular (inclinação) por outros: origem da reta (A), variância (B), direção do eixo (C) e força da correlação (D). O candidato que confunde "coeficiente angular nulo" com "reta passa pela origem" ou com "correlação forte" cai nos distratores. Lembre-se: $\beta_1 = 0$ significa reta horizontal, sem relação linear — nada mais.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de interpretação de coeficientes, escreva a equação da reta e pergunte: "o que acontece com Y quando X aumenta 1 unidade?" Se Y não muda, o coeficiente é zero. E lembre-se: coeficiente angular nulo $\Leftrightarrow$ correlação linear nula (em regressão simples), mas não implica independência.

Gabarito: letra E