Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática Financeira›Conceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
ce175262
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ITAIPU BINACIONAL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Profissional de Nível Universitário Júnior - Função: Contador
Em regime de juros compostos, o montante, que é sempre a base de cálculo, pode ser calculado a partir da equação M = C · (1 + i)n , em que M corresponde ao montante; C, ao capital investido; i, à taxa de juros; e n, ao número de períodos de aplicação. Nessas condições, a expressão que representa o momento em que um capital, aplicado em regime de juros compostos, gera um rendimento igual ao seu próprio valor é
A
B
C
D
E
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GabaritoD — [imagem]
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Juros Compostos – Rendimento igual ao capital
Gabarito: letra D. A condição de rendimento igual ao capital implica que o montante final é o dobro do capital inicial (M = 2C). Substituindo na fórmula dos juros compostos M = C·(1+i)^n, obtém-se 2 = (1+i)^n. Isolando a taxa de juros i, chega-se a i = 2^(1/n) - 1, que é exatamente a expressão da alternativa D.
A questão exige apenas a manipulação algébrica da equação fundamental dos juros compostos. Vejamos cada alternativa:
1M = C·(1+i)^n
22C = C·(1+i)^n
32 = (1+i)^n
4i = 2^(1/n) - 1
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que 2^(1/2) = 1 + i. Isso equivaleria a i = 2^(1/2) - 1, que é válido apenas quando n = 2. A condição geral depende de n, não de um valor fixo.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Apresenta 2^(n/2) - 1 = i. Substituindo na equação original, teríamos 2^(n/2) = (1+i), o que elevaria ambos os lados a 2/n, resultando em 2 = (1+i)^(2/n), diferente da relação correta 2 = (1+i)^n.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Traz 1/2^n = i. Isso não decorre da equação 2 = (1+i)^n; além disso, isolando i dessa forma, i seria sempre menor que 1, o que não é verdade para qualquer n positivo.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Expressa i = 2^(1/n) - 1, que é a solução direta de 2 = (1+i)^n: aplicando a raiz n-ésima em ambos os lados, (1+i) = 2^(1/n), e subtraindo 1, obtém-se i.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma i = 1/n^2. Não há relação com a equação de juros compostos; é uma expressão arbitrária.
Portanto, a única alternativa que representa corretamente o momento em que o rendimento iguala o capital é a letra D.
