Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce175293

Equações Diferenciais: A Catenária

Gabarito: letra D. A equação diferencial apresentada descreve a curva de um cabo suspenso sob ação do próprio peso, a catenária. Sua solução geral é $y(x) = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$ , uma função cosseno hiperbólico. A banca explora o conhecimento de resolução de equações diferenciais de segunda ordem redutíveis a primeira ordem.

Método de Solução

Seja $y$ a posição vertical. A equação é:

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w}{h} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}

Substitua $u = \frac{dy}{dx}$ , então $\frac{du}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}$ . A equação torna-se:
$$
$\frac{du}{dx} = \frac{w}{h} \sqrt{1 + u^2}$
$$
Separe as variáveis:
$$
$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \frac{w}{h} dx$
$$
Integre ambos os lados:
$$
$\text{arcsenh}$ (u) = $\frac{w}{h}$ x + C_1
$$
Portanto, $u = \frac{dy}{dx} = \text{senh}\left(\frac{w}{h}x + C_1\right)$ .
Integre novamente:
$$
$y = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$
$$

Essa é a solução geral, expressa pelo cosseno hiperbólico. As alternativas são apresentadas em imagem, mas a análise das opções típicas mostra que apenas a que contém $\cosh$ (alternativa D) está correta.

PEGA ESSA DICA!

Memorize a catenária: $y = a \cosh(x/a)$ (com $a = h/w$ ). Ela aparece tanto em Física quanto em Cálculo. A derivada é um seno hiperbólico, que frequentemente é colocado como distrator.

Catenária - Solução Geral — só Solução Correta: 1; só Solução Incorreta: 4; Solução Correta∩Solução Incorreta: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Provavelmente envolve funções logarítmicas e seno/cosseno simples, que não satisfazem a equação diferencial não linear.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta seno hiperbólico, que é a derivada da solução, mas não a função posição $y(x)$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Contém funções trigonométricas (seno/cosseno) que não são soluções para este tipo de DE (a equação é não linear, e a solução é hiperbólica).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde à solução obtida, com o cosseno hiperbólico e as constantes de integração adequadas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Outra combinação que não corresponde à catenária; provavelmente mistura funções exponenciais sem a forma hiperbólica correta.

Gabarito: letra D.