Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce175317

Equações Diferenciais: A Catenária

Gabarito: letra D. A equação diferencial apresentada descreve a forma de um cabo suspenso sob seu próprio peso, conhecida como catenária. A solução geral dessa equação é dada por uma função cosseno hiperbólico, $y(x) = \frac{h}{w} \cosh \left( \frac{w}{h}x + C_1 \right) + C_2$ .

Para resolver a equação $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w}{h} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}$ , realizamos uma substituição de variável. Seja $u = \frac{dy}{dx}$ , logo $\frac{du}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}$ . A equação torna-se $\frac{du}{dx} = \frac{w}{h} \sqrt{1 + u^2}$ . Separando as variáveis, temos $\frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \frac{w}{h} dx$ . Integrando ambos os lados, obtemos $\text{senh}^{-1}(u) = \frac{w}{h}x + C_1$ , o que implica $u = \frac{dy}{dx} = \text{senh}\left( \frac{w}{h}x + C_1 \right)$ . Integrando novamente em relação a $x$ , chegamos à forma final $y(x) = \frac{h}{w} \cosh \left( \frac{w}{h}x + C_1 \right) + C_2$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa propõe uma solução logarítmica envolvendo cosseno, que não satisfaz a equação diferencial dada. A estrutura da solução da catenária exige funções hiperbólicas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Embora utilize funções hiperbólicas, a função seno hiperbólico ( $\text{senh}$ ) não corresponde à solução da equação diferencial de segunda ordem para a catenária, que resulta em cosseno hiperbólico ( $\cosh$ ).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa utiliza a função seno trigonométrica comum, que não é a solução para este tipo de problema físico de equilíbrio de cabos.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a forma correta da solução geral da equação diferencial da catenária, utilizando a função cosseno hiperbólico ( $\cosh$ ), que é a função cuja segunda derivada é proporcional à raiz quadrada de um mais o quadrado da primeira derivada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa utiliza a função cosseno trigonométrica comum, que não descreve a curva de um cabo flexível sob seu próprio peso.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de física envolvendo cabos suspensos, a solução sempre envolverá funções hiperbólicas ( $\cosh$ ou $\text{senh}$ ), nunca funções trigonométricas circulares ( $\cos$ ou $\text{sen}$ ).