Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce175328

Distribuição exponencial: cálculo de P(D ≤ 4)

Gabarito: letra D. Para uma variável com distribuição exponencial de média 4, o parâmetro é λ = 1/4, e a probabilidade acumulada até o valor 4 é P(D ≤ 4) = 1 − e^(−λ·4) = 1 − e^(−1) = 1 − 0,37 = 0,63. A questão exige apenas aplicar a função de distribuição acumulada da exponencial, que é F(x) = 1 − e^(−λx).

A distribuição exponencial é uma das principais distribuições contínuas de probabilidade, usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento (falha de uma peça, duração de um componente, tempo de espera etc.). Ela é caracterizada por um único parâmetro λ (taxa de ocorrência), e sua média é o inverso desse parâmetro: E(X) = 1/λ. No enunciado, a média é 4, logo λ = 1/4.

A função de distribuição acumulada (FDA) da exponencial é:

Distribuição Exponencial:
F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), para x ≥ 0.

Essa fórmula é a chave da questão. Basta substituir λ = 1/4 e x = 4:

P(D ≤ 4) = 1 − e^(−(1/4)·4) = 1 − e^(−1) = 1 − 0,37 = 0,63.

A banca forneceu o valor de e^(−1) = 0,37 justamente para que o candidato não precise de calculadora. O raciocínio é direto, mas exige conhecer a FDA da exponencial e saber relacionar a média com o parâmetro λ.

Probabilidade acumulada exponencial — só D ≤ 4: 0,63; só D > 4: 0,37; D ≤ 4∩D > 4: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,1369 é o quadrado de 0,37 (0,37² = 0,1369). Esse número não corresponde a nenhuma probabilidade relevante da exponencial com média 4. O candidato que erra aqui provavelmente calculou e^(−1)² ou confundiu a fórmula, mas não há operação que resulte nesse valor para P(D ≤ 4).

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,37 é exatamente o valor de e^(−1), que representa a probabilidade de D ser maior que 4 (a cauda direita): P(D > 4) = e^(−λ·4) = e^(−1) = 0,37. A banca troca o complemento: a questão pede P(D ≤ 4), que é 1 − 0,37 = 0,63. Quem marca esta alternativa calculou a probabilidade de sobrevivência (ou de falha após 4 meses) em vez da acumulada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,5 seria a probabilidade se a distribuição fosse simétrica em torno da média, como a normal. Mas a exponencial é assimétrica à direita, e a mediana (valor que deixa 50% de probabilidade de cada lado) é dada por ln(2)/λ ≈ 0,693/λ, que para λ = 1/4 é aproximadamente 2,77, não 4. Portanto, P(D ≤ 4) é maior que 0,5, pois 4 está acima da mediana.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado: P(D ≤ 4) = 1 − e^(−1) = 1 − 0,37 = 0,63. Este é o valor da função de distribuição acumulada no ponto x = 4, que representa a probabilidade de a peça durar no máximo 4 meses.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,8631 é o valor de 1 − e^(−2) (pois e^(−2) ≈ 0,1353, e 1 − 0,1353 = 0,8647, próximo). Esse número corresponderia a P(D ≤ 8) se λ = 1/4, ou a P(D ≤ 4) se λ = 1/2. O candidato que marca esta alternativa provavelmente usou λ = 1/2 (média 2) ou calculou com x = 8, confundindo o valor do parâmetro ou o ponto de corte.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a probabilidade acumulada e a probabilidade de sobrevivência (cauda direita). A alternativa B (0,37) é exatamente e^(−1), que é P(D > 4), o complemento do que se pede. Lembre-se: na exponencial, P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) e P(X > x) = e^(−λx). Sempre verifique se a questão pede "menor ou igual" ou "maior que" — isso decide se você usa a FDA ou o complemento.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de exponencial, o primeiro passo é sempre extrair λ da média: λ = 1/média. Depois, identifique se a pergunta é do tipo P(X ≤ x) (use 1 − e^(−λx)) ou P(X > x) (use e^(−λx)). Treine com valores de e^(−k) fornecidos, como e^(−1) = 0,37, e memorize a relação entre média, λ e a forma da FDA. Com esse método, você resolve qualquer questão do tema em segundos.

Gabarito: letra D