Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce175329

Distribuição de Poisson: média, variância e desvio padrão

Gabarito: letra C. Se $P(X=0) = P(X=1) > 0$ , então o parâmetro $\lambda$ da distribuição de Poisson é igual a 1, e como na Poisson a média e a variância são ambas iguais a $\lambda$ , o desvio padrão é $\sqrt{\lambda} = 1$ . A condição dada no enunciado determina diretamente o valor de $\lambda$ .

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo (de tempo, área, volume etc.), quando as ocorrências são aleatórias, independentes e uniformemente distribuídas. Sua função de probabilidade é dada por:

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

em que $\lambda > 0$ é o parâmetro da distribuição, que representa tanto a média quanto a variância de $X$ . Ou seja:

E(X) = \lambda, \quad Var(X) = \lambda

Consequentemente, o desvio padrão é:

DP(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\lambda}

A questão fornece a condição $P(X=0) = P(X=1) > 0$ . Substituindo na fórmula da função de probabilidade:

P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda}

P(X=1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda

Igualando as duas expressões:

e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \lambda

Como $e^{-\lambda} > 0$ (pois $P(X=0) > 0$ ), podemos dividir ambos os lados por $e^{-\lambda}$ , obtendo:

1 = \lambda

Portanto, $\lambda = 1$ . Assim, o desvio padrão é:

DP(X) = \sqrt{1} = 1

A pegadinha da questão está em confundir o desvio padrão com a variância: na distribuição de Poisson, a variância é igual a $\lambda$ , mas o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Como $\lambda = 1$ , tanto a variância quanto o desvio padrão são iguais a 1, mas isso é uma coincidência numérica — em geral, o desvio padrão é $\sqrt{\lambda}$ , não $\lambda$ .

1P(X=0) = e⁻λ
2P(X=1) = λ·e⁻λ
3Iguala: e⁻λ = λ·e⁻λ
4λ = 1
5DP = √λ = 1

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O desvio padrão não é 0. Isso ocorreria apenas se $\lambda = 0$ , mas a condição $P(X=0) = P(X=1) > 0$ garante que $\lambda = 1$ , pois se $\lambda = 0$ teríamos $P(X=0) = 1$ e $P(X=1) = 0$ , contrariando a igualdade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,5 não corresponde a nenhum parâmetro da distribuição obtida. Se $\lambda = 0,5$ , teríamos $P(X=0) = e^{-0,5} \approx 0,6065$ e $P(X=1) = 0,5 \cdot e^{-0,5} \approx 0,3033$ , que não são iguais. Portanto, $\lambda$ não pode ser 0,5.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a condição $P(X=0) = P(X=1)$ implica $\lambda = 1$ . O desvio padrão de uma Poisson é $\sqrt{\lambda}$ , logo $DP(X) = \sqrt{1} = 1$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1,5 não é a raiz quadrada de nenhum $\lambda$ que satisfaça a condição. Se $\lambda = 2,25$ , teríamos $P(X=0) = e^{-2,25}$ e $P(X=1) = 2,25 \cdot e^{-2,25}$ , que não são iguais. Portanto, $\lambda$ não pode ser 2,25.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 2 seria o desvio padrão se $\lambda = 4$ . Mas, como vimos, a condição impõe $\lambda = 1$ , não 4. Se $\lambda = 4$ , $P(X=0) = e^{-4}$ e $P(X=1) = 4e^{-4}$ , que não são iguais.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de Poisson, lembre-se sempre: média = variância = $\lambda$ , mas desvio padrão = $\sqrt{\lambda}$ . Quando a questão der uma relação entre probabilidades, use a função de probabilidade para encontrar $\lambda$ antes de calcular qualquer medida. Aqui, a igualdade $P(X=0) = P(X=1)$ é um atalho clássico: ela só é satisfeita para $\lambda = 1$ .

Gabarito: letra C