Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

Cálculo de Centro de Massa: Sólido de Revolução

Gabarito: letra E. O centro de massa $C_m = (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ de um sólido com densidade variável $\delta(x, y, z)$ é determinado pelas integrais de volume $M_i = \iiint_V x_i \delta(x, y, z) dV$, onde $M_i$ são os momentos em relação aos planos coordenados e $M = \iiint_V \delta(x, y, z) dV$ é a massa total. Devido à simetria do paraboloide em relação ao eixo $z$, as coordenadas $\bar{x}$ e $\bar{y}$ são nulas. A coordenada vertical $\bar{z}$ é calculada pela razão $\frac{M_{xy}}{M}$.

Para o sólido definido por $z = a - \frac{a}{\rho^2}(x^2 + y^2)$, utilizando coordenadas cilíndricas ($x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$), temos $z = a - \frac{a}{\rho^2}r^2$. O elemento de volume é $dV = r dr d\theta dz$. A densidade é $\delta(z) = 2a - z$. O cálculo da massa total $M$ e do momento $M_{xy}$ envolve a integração sobre o domínio $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le r \le \rho$ e $0 \le z \le a - \frac{a}{\rho^2}r^2$. Após a integração, obtém-se $\bar{z} = \frac{3}{10}a$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{2}a^2$ não possui dimensão de comprimento, sendo incompatível com uma coordenada de posição.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{5}{3}a$ está fora do intervalo físico do poste, que está contido entre $0 \le z \le a$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor apresentado é uma expressão dimensionalmente incorreta para uma coordenada de centro de massa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Similarmente à alternativa C, a expressão não resulta em uma unidade de comprimento, sendo fisicamente impossível.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Esta alternativa apresenta o valor correto para a coordenada $\bar{z}$ do centro de massa, consistente com a integração do sólido de densidade variável dado.

Gabarito: letra E.