Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2024

Cálculo: Equações Diferenciais e a Catenária

Gabarito: letra D. A equação diferencial apresentada descreve a forma de um cabo flexível suspenso, conhecida como catenária. A solução geral dessa equação diferencial de segunda ordem, após a integração sucessiva, resulta na função cosseno hiperbólico, expressa por $y(x) = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$.

Para resolver a equação diferencial $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w}{h} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$, realizamos uma substituição de variável. Seja $p = \frac{dy}{dx}$, logo $\frac{dp}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}$. A equação torna-se:

Separando as variáveis, temos:

A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta na função seno hiperbólico inverso (ou logaritmo natural), resultando em $\text{senh}^{-1}(p) = \frac{w}{h}x + C_1$. Isolando $p$:

Integrando novamente em relação a $x$ para encontrar $y(x)$:

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa propõe uma solução envolvendo logaritmo e cosseno trigonométrico, que não satisfaz a equação diferencial dada para a catenária.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Embora utilize funções hiperbólicas, a função seno hiperbólico ($\text{senh}$) é a derivada da solução correta, não a própria solução da curva $y(x)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Propõe a função seno trigonométrico, que descreve oscilações e não a forma de um cabo suspenso sob seu próprio peso.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a forma correta da solução da equação diferencial da catenária, utilizando a função cosseno hiperbólico ($\cosh$), que é a função que minimiza a energia potencial do cabo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Utiliza o cosseno trigonométrico comum, que não corresponde à solução da equação diferencial de segunda ordem apresentada no enunciado.