Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra E. A margem de erro de um intervalo de confiança para a média, quando o desvio padrão populacional é conhecido, é dada por $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, que depende apenas do nível de confiança (via $z_{\alpha/2}$), do desvio padrão populacional $\sigma$ e do tamanho da amostra $n$ — não depende da média amostral $\bar{x}$. As demais alternativas erram ao usar a distribuição t de Student (que só se aplica quando $\sigma$ é desconhecido), ao inverter a relação entre nível de confiança e amplitude, ao confundir o significado probabilístico do intervalo e ao tratar a estimativa pontual como aleatória.

O intervalo de confiança é a ferramenta da inferência estatística que, a partir de uma amostra, produz um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro populacional desconhecido. Quando a população é normal e o desvio padrão $\sigma$ é conhecido, a quantidade pivotal $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ segue distribuição normal padrão, e o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para a média $\mu$ é:

em que $z_{\alpha/2}$ é o quantil da normal padrão que deixa $\alpha/2$ de probabilidade em cada cauda. A margem de erro (ou erro máximo da estimativa) é $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — metade da amplitude do intervalo. É crucial notar que $E$ não contém a média amostral $\bar{x}$: ela apenas centraliza o intervalo. A média amostral é uma variável aleatória (muda de amostra para amostra), mas a margem de erro, dados $\sigma$ e $n$, é uma constante para um dado nível de confiança.

A distinção central que a banca explora é entre os dois cenários de construção do intervalo: com $\sigma$ conhecido, usa-se a distribuição normal padrão; com $\sigma$ desconhecido, usa-se a distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade. Como o enunciado afirma expressamente que $\sigma$ é conhecido, a alternativa A, que invoca a t de Student, está incorreta. Outra distinção importante é entre o nível de confiança e a probabilidade: o nível de confiança de 95% refere-se ao procedimento de construção do intervalo (em repetidas amostras, cerca de 95% dos intervalos conteriam $\mu$), e não à probabilidade de $\mu$ estar dentro de um intervalo específico já calculado — $\mu$ é um valor fixo, não aleatório.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que, por $\sigma$ ser conhecido, o intervalo foi obtido com a distribuição t de Student com 8 graus de liberdade. É exatamente o contrário: a t de Student é usada quando $\sigma$ é desconhecido e se estima por $s$. Com $\sigma$ conhecido, a distribuição correta é a normal padrão ($Z$). A banca inverte o critério de escolha entre as duas distribuições.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que, com 99% de confiança, a margem de erro $\varepsilon$ seria menor que 0,5. Quanto maior o nível de confiança, maior o quantil $z_{\alpha/2}$ (para 95%, $z_{0,025} \approx 1,96$; para 99%, $z_{0,005} \approx 2,576$), e portanto maior a margem de erro. Logo, $\varepsilon > 0,5$. A alternativa inverte a relação entre confiança e amplitude.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o intervalo [39,5; 40,5] tem probabilidade 0,95 de conter $\mu$. Essa é a interpretação errônea e clássica do intervalo de confiança. O parâmetro $\mu$ é fixo (não aleatório); a aleatoriedade está no intervalo, que varia de amostra para amostra. A afirmação correta é: em repetidas amostras, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conterão $\mu$. Para um intervalo já calculado, não faz sentido atribuir probabilidade — ou ele contém $\mu$, ou não contém.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a estimativa pontual para $\mu$ é um valor aleatório que se encontra no intervalo [39,5; 40,5]. A estimativa pontual é a média amostral $\bar{x}$, que é uma variável aleatória antes de a amostra ser coletada; depois de coletada, é um número fixo. Além disso, o intervalo foi construído centrado em $\bar{x}$ (40 ± 0,5), de modo que $\bar{x} = 40$ está sempre no centro do intervalo — não é uma questão de "se encontrar" nele, é uma construção. A aleatoriedade da estimativa pontual não implica que ela esteja aleatoriamente dentro do intervalo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a margem de erro (0,5 MPa) não depende da média amostral. Correto: $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. A margem de erro é função apenas do quantil da normal (determinado pelo nível de confiança), do desvio padrão populacional e do tamanho da amostra. A média amostral $\bar{x}$ apenas centraliza o intervalo, não afeta sua amplitude. Esta é a propriedade que a alternativa E corretamente identifica.

Gabarito: letra E