Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra A. A margem de erro de um intervalo de confiança para a média, quando o desvio padrão populacional é conhecido, é dada por $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, que depende apenas do nível de confiança, do desvio padrão e do tamanho da amostra — não depende da média amostral. As demais alternativas contêm erros conceituais clássicos: uso indevido da distribuição t de Student, relação incorreta entre nível de confiança e amplitude do intervalo, e interpretação probabilística equivocada do intervalo.

A questão explora o conceito de intervalo de confiança para a média populacional quando a variância é conhecida. Nesse cenário, a estatística pivotal é a normal padrão, e o intervalo é construído como:

O termo $z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é a margem de erro (ou erro máximo da estimativa). Ela é determinada por três elementos: o nível de confiança (que define $z_{\alpha/2}$), o desvio padrão populacional $\sigma$ e o tamanho da amostra $n$. A média amostral $\bar{x}$ apenas centraliza o intervalo — ela não influencia a sua amplitude. Essa é a distinção central que a alternativa A captura corretamente.

A confusão mais comum neste tema é misturar os casos de variância conhecida e desconhecida. Quando $\sigma$ é conhecido, usa-se a distribuição normal; quando é desconhecido e estimado pela amostra, usa-se a distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade. Outra armadilha frequente é a interpretação do intervalo: o nível de confiança refere-se ao procedimento de estimação, não à probabilidade de o parâmetro estar dentro de um intervalo específico já calculado.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A margem de erro é $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Nesta fórmula, não aparece a média amostral $\bar{x}$. Portanto, a afirmação de que a margem de erro não depende da média amostral está correta. A média amostral apenas determina o centro do intervalo, mas não a sua amplitude.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O enunciado afirma explicitamente que o desvio padrão $\sigma$ é conhecido. Nesse caso, a distribuição a ser utilizada é a normal padrão, não a t de Student. A distribuição t de Student com $n-1 = 8$ graus de liberdade seria usada apenas se $\sigma$ fosse desconhecido e estimado pela amostra. A alternativa confunde os dois cenários.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Um intervalo com 99% de confiança exige um valor crítico $z_{\alpha/2}$ maior do que o de 95% (aproximadamente 2,576 contra 1,96). Como a margem de erro é diretamente proporcional a esse valor, o novo intervalo teria uma margem $\epsilon > 0,5$, e não $\epsilon < 0,5$. A alternativa inverte a relação entre nível de confiança e amplitude do intervalo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo de confiança não expressa a probabilidade de o parâmetro $\mu$ estar dentro de um intervalo específico. O parâmetro é fixo; a aleatoriedade está no intervalo, que varia de amostra para amostra. A interpretação correta é: se repetíssemos o procedimento muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam o verdadeiro valor de $\mu$. A alternativa atribui a probabilidade ao parâmetro, o que é um erro conceitual grave.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A estimativa pontual $\bar{x}$ é um valor aleatório, pois depende da amostra sorteada. No entanto, ela é o centro do intervalo, e não um valor que "se encontra" dentro dele. O intervalo é construído como $\bar{x} \pm E$, portanto $\bar{x}$ é o ponto médio, não um ponto qualquer do intervalo. A afirmação é imprecisa e não reflete a relação entre estimativa pontual e intervalo.

Gabarito: letra A.