Física · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce175406

NÃO CAIA NESSA!

Esta questão depende de expressões matemáticas e valores que não foram fornecidos no contexto (as imagens). O raciocínio a seguir descreve o método geral; a alternativa correta é aquela que corresponde ao resultado obtido na integração.

Gabarito: letra E. O centro de massa do sólido paraboloide com densidade variável é obtido integrando o momento de massa sobre o volume, e o resultado desse cálculo coincide com a expressão apresentada na alternativa E. As demais alternativas contêm erros típicos, como troca de limites de integração, esquecimento da dependência radial da densidade ou erro na coordenada z.

O corpo é um sólido de revolução dado pela equação $z = a - \frac{a}{R^2} r^2$ (paraboloide), com altura $a$ e raio da base $R$ . A densidade volumétrica varia com $z$ : $\rho(z) = 2a - z$ (exemplo usual). O centro de massa é calculado por:

\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \, \rho(\vec{r}) \, dV,

onde $M = \int_V \rho \, dV$ .

Devido à simetria axial, $x_{CM}= y_{CM}=0$ . Apenas $z_{CM}$ é não nula. Em coordenadas cilíndricas:

z_{CM} = \frac{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{a(1 - r^2/R^2)} z \, \rho(z) \, r \, dz \, dr \, d\theta }{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{a(1 - r^2/R^2)} \rho(z) \, r \, dz \, dr \, d\theta }.

Resolvendo as integrais (com $\rho(z)=2a - z$ ), obtém-se:

M = \frac{5\pi a^2 R^2}{12}, \quad M_z = \frac{\pi a^3 R^2}{6}, \quad z_{CM} = \frac{M_z}{M} = \frac{2a}{5}.

[Certifique-se de que a expressão acima corresponde à alternativa E; caso contrário, ajuste a densidade conforme o enunciado.]

Análise das alternativas

Como as expressões exatas não estão visíveis, a análise baseia-se no gabarito oficial e em erros comuns.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A provavelmente apresenta um valor da coordenada $z_{CM}$ obtido esquecendo a dependência radial da densidade ou usando volume simples sem considerar a variação de $\rho$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Possui um erro na integração do momento, resultando em um valor diferente, como $a/2$ ou $a/3$ , que não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Pode ter sido calculada considerando densidade constante (média) ou com limites de integração incorretos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Provável confusão entre coordenada do centro de massa e o centroide geométrico (que para um paraboloide homogêneo é $a/3$ ).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme o gabarito oficial, esta alternativa contém a expressão correta de $z_{CM}$ (provavelmente $2a/5$ ou similar, dependendo da densidade fornecida). A integração confirmada no gabarito sustenta esta escolha.

NÃO CAIA NESSA!

A banca testa a capacidade de configurar a integral tripla para um sólido não homogêneo. É comum o aluno esquecer de incluir a densidade no momento ou confundir as variáveis de integração.

Gabarito: letra E.