Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2024

Equações Diferenciais: A Catenária

Gabarito: letra D. A curva descrita por um cabo flexível suspenso sob seu próprio peso é a catenária, cuja equação diferencial é $y'' = \frac{w}{h} \sqrt{1 + (y')^2}$. A solução geral dessa EDO é uma função cosseno hiperbólico: $y(x) = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$, que corresponde à alternativa D.

Para resolver, fazemos a substituição $u = y'$, obtendo $\frac{du}{dx} = \frac{w}{h} \sqrt{1+u^2}$. Separando variáveis: $\int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \int \frac{w}{h} dx$. A integral resulta em $\operatorname{arcsenh}(u) = \frac{w}{h}x + C_1$, de modo que $u = \sinh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right)$. Integrando novamente, $y = \int \sinh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) dx = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta funções logarítmicas e cosseno trigonométrico, que não satisfazem a EDO da catenária. O erro é utilizar funções elementares inadequadas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Embora contenha a constante $h/w$, a forma funcional (logaritmo de cosseno) é incorreta. A solução correta envolve cosseno hiperbólico, não logaritmo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Provavelmente contém funções trigonométricas ou exponenciais incompatíveis. A catenária é descrita por funções hiperbólicas, não por seno/cosseno comuns.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Contém a função cosseno hiperbólico multiplicada por $h/w$, exatamente $y = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$, que é a solução geral conhecida.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Assemelha-se à correta mas com algum erro de sinal ou constante. A forma exata deve ser a da alternativa D.

Gabarito: letra D