Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2024

Equação Diferencial da Catenária

Gabarito: letra C. A equação diferencial que descreve um cabo flexível suspenso sob seu próprio peso é $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w}{h} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$. Sua solução geral é expressa pela função cosseno hiperbólico: $y(x) = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$. Esse resultado decorre da integração por substituição $u = dy/dx$, que reduz a equação a $du/dx = (w/h)\sqrt{1+u^2}$, cuja solução é $u = \sinh\left((w/h)x + C_1\right)$, e integrando novamente obtém-se o cosseno hiperbólico.

A banca testa o conhecimento da forma da catenária e a diferença entre funções hiperbólicas e trigonométricas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta a função seno hiperbólico ($\sinh$) como solução primitiva, mas a integração de $\sinh$ resulta em $\cosh$, e não em $\sinh$ novamente. A solução correta envolve $\cosh$, não $\sinh$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Utiliza a função seno trigonométrica ($\sin$), que não satisfaz a relação diferencial não linear da catenária. As funções trigonométricas surgem em oscilações harmônicas, não em cabos suspensos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $y(x) = \frac{h}{w} \cosh\left(\frac{w}{h}x + C_1\right) + C_2$ é a solução geral. Derivando, obtém-se $y' = \sinh(\cdot)$ e $y'' = \frac{w}{h}\cosh(\cdot) = \frac{w}{h}\sqrt{1+y'^2}$, satisfazendo a EDO.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Provavelmente contém uma exponencial simples ou combinação linear de exponenciais, que resolveria $y'' = y$, mas não a equação com a raiz quadrada. A catenária é uma combinação de exponenciais, mas na forma de cosseno hiperbólico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Possivelmente uma função quadrática ou polinomial, que não se ajusta à curvatura variável de um cabo suspenso.