Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2024

Média aritmética: definição e propriedades

Gabarito: letra D — apenas o item III está certo. A média aritmética é, por definição, a soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos — exatamente o que afirma o item III. Os itens I e II estão errados: a média é afetada por valores discrepantes (outliers), e não é a única medida de tendência central que produz resultados inteiros (isso depende dos dados, não da medida).

A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada e a mais conhecida. Ela representa o "centro de gravidade" dos dados: é o valor que equilibra a soma dos desvios (a soma das diferenças entre cada valor e a média é sempre zero). Sua fórmula é:

onde $x_i$ são os valores observados e $n$ é o número de elementos.

A principal propriedade que a banca explora aqui é a sensibilidade a valores extremos (outliers). Como a média usa todos os valores no cálculo, um valor muito grande ou muito pequeno "puxa" a média na direção dele. Por isso, em distribuições assimétricas (com cauda longa), a média tende a se afastar do centro "típico" dos dados, e a mediana é preferida como medida de posição. Em distribuições simétricas, a média e a mediana coincidem — mas isso não torna a média "inutilizável"; pelo contrário, ela é perfeitamente adequada.

Outra propriedade importante é que a média não é necessariamente um valor inteiro, mesmo para variáveis discretas. Por exemplo, a média de {1, 2} é 1,5. A única medida de tendência central que "sempre" produz um valor que está no conjunto é a moda (quando existe), mas mesmo ela não é garantia de inteiro se os dados forem contínuos. A afirmação do item II é, portanto, falsa.

Item I — ❌ Incorreto

O item I afirma que a média "não é afetada por valores discrepantes" e que isso a torna "inutilizável em distribuições simétricas". Ambas as partes estão erradas.

• A média é afetada por valores discrepantes (outliers). Um único valor extremo pode deslocar a média significativamente. Por exemplo, no conjunto {1, 2, 3, 4, 100}, a média é 22, enquanto a mediana é 3. Essa é uma propriedade conhecida e frequentemente cobrada: a média é sensível a outliers, ao contrário da mediana.

• Em distribuições simétricas, a média é uma medida perfeitamente utilizável — na verdade, é a medida mais adequada, pois coincide com a mediana e com a moda. A afirmação de que seria "inutilizável" é um absurdo conceitual.

Portanto, o item I está incorreto.

Item II — ❌ Incorreto

O item II afirma que a média é "a única medida de tendência central que sempre produz resultados inteiros, mesmo quando aplicada a variáveis discretas". Isso é falso por dois motivos:

1. A média não produz sempre resultados inteiros. Para variáveis discretas, a média pode ser fracionária (ex.: média de {1, 2} = 1,5).

2. A média não é a única medida que pode produzir inteiros — a moda, por definição, é um valor que ocorre nos dados (portanto, se os dados são inteiros, a moda é inteira), e a mediana também pode ser inteira (quando o número de elementos é ímpar, a mediana é um dos valores do conjunto).

A afirmação de que a média "sempre" produz inteiros é uma generalização incorreta. O item está errado.

Item III — ✅ Correto ⟵ GABARITO

O item III define corretamente a média aritmética: "calculada como sendo a soma de todos os valores integrantes de um conjunto de dados, dividida pela quantidade de elementos desse conjunto". Essa é exatamente a definição formal:

onde $x_i$ são os valores e $n$ é o número de elementos. O item está correto.

Gabarito: letra D — apenas o item III está correto.