Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce178528

Tamanho da amostra para erro padrão da média

Gabarito: letra A (625). Na amostragem aleatória simples com reposição, o erro padrão da média amostral é $\sigma/\sqrt{n}$ . Para que esse erro seja igual a 4% do desvio padrão populacional ( $0,04\sigma$ ), basta resolver $\sigma/\sqrt{n} = 0,04\sigma$ , o que leva a $\sqrt{n} = 25$ e, portanto, $n = 625$ .

O erro padrão da média amostral mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional. Na amostragem aleatória simples com reposição (ou população infinita), a fórmula é:

\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

em que $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. O enunciado pede que esse erro seja igual a 4% do desvio padrão populacional, ou seja:

\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0,04\sigma

Cancelando $\sigma$ (que é positivo) dos dois lados:

\frac{1}{\sqrt{n}} = 0,04 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{n} = \frac{1}{0,04} = 25 \quad \Rightarrow \quad n = 25^2 = 625

Portanto, o tamanho da amostra deve ser 625.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o erro padrão da média ( $\sigma/\sqrt{n}$ ) e o desvio padrão populacional ( $\sigma$ ). O candidato apressado pode igualar $\sqrt{n}$ a 0,04 e obter $n = 0,0016$ (absurdo), ou inverter a fração e achar $n = 0,04^2$ . A chave é lembrar que o erro padrão diminui com a raiz do tamanho da amostra: para reduzir o erro à metade, é preciso quadruplicar a amostra. Aqui, como o erro é 1/25 do desvio, o tamanho é $25^2 = 625$ .

1Erro padrão = σ/√n
2Igualar a 0,04σ
3√n = 25
4n = 625

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $n = (1/0,04)^2 = 25^2 = 625$ . É o único valor que satisfaz a condição imposta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

400 corresponderia a $\sqrt{n} = 20$ , o que daria erro padrão de $\sigma/20 = 5\%$ do desvio padrão — não 4%. É um distrator comum para quem calcula $n = (1/0,05)^2$ por engano.

Alternativa C — ❌ Incorreta

256 corresponderia a $\sqrt{n} = 16$ , erro padrão de $\sigma/16 \approx 6,25\%$ do desvio. Não atende à condição.

Alternativa D — ❌ Incorreta

25 corresponderia a $\sqrt{n} = 5$ , erro padrão de $\sigma/5 = 20\%$ do desvio. É o valor de $\sqrt{n}$ correto, mas não o de $n$ — pegadinha clássica de esquecer de elevar ao quadrado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

4 corresponderia a $\sqrt{n} = 2$ , erro padrão de $\sigma/2 = 50\%$ do desvio. Totalmente fora do esperado.

Gabarito: letra A