Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce178532

Probabilidade condicional e a regra da união: encontrando P(E₁)

Gabarito: letra C (0,6). A questão combina probabilidade condicional e a regra da união: de $P(E_1 \cap E_2 \mid E_1) = 0{,}3$ extrai-se que $P(E_1 \cap E_2) = 0{,}3 \cdot P(E_1)$ ; de $P(E_1 \mid E_2) = 0{,}4$ tem-se $P(E_1 \cap E_2) = 0{,}4 \cdot P(E_2)$ ; e a união $P(E_1 \cup E_2) = 0{,}87$ fecha o sistema que leva a $P(E_1) = 0{,}6$ .

A questão exige dominar duas definições básicas de probabilidade: a probabilidade condicional e a probabilidade da união. Vamos revisá-las antes de resolver.

Probabilidade condicional: para dois eventos $A$ e $B$ , com $P(B) > 0$ , define-se

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Isso significa que, ao condicionar em $B$ , o espaço amostral se reduz a $B$ , e a probabilidade da interseção é "redimensionada" pela probabilidade de $B$ .

Probabilidade da união: para quaisquer eventos $A$ e $B$ ,

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

A interseção é subtraída porque, ao somar $P(A)$ e $P(B)$ , a região comum é contada duas vezes.

Agora, vamos aplicar ao problema. Sejam $E_1$ e $E_2$ os eventos. Temos:

$P(E_1 \cap E_2 \mid E_1) = 0{,}3$
$P(E_1 \mid E_2) = 0{,}4$
$P(E_1 \cup E_2) = 0{,}87$

Passo 1 — interpretar a primeira condicional:

P(E_1 \cap E_2 \mid E_1) = \frac{P((E_1 \cap E_2) \cap E_1)}{P(E_1)} = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} = 0{,}3

Portanto:

P(E_1 \cap E_2) = 0{,}3 \cdot P(E_1)

Passo 2 — interpretar a segunda condicional:

P(E_1 \mid E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = 0{,}4

Portanto:

P(E_1 \cap E_2) = 0{,}4 \cdot P(E_2)

Passo 3 — igualar as duas expressões da interseção:

0{,}3 \cdot P(E_1) = 0{,}4 \cdot P(E_2) \Rightarrow P(E_2) = \frac{0{,}3}{0{,}4} \cdot P(E_1) = 0{,}75 \cdot P(E_1)

Passo 4 — usar a regra da união:

P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = 0{,}87

Substituindo $P(E_2) = 0{,}75 \cdot P(E_1)$ e $P(E_1 \cap E_2) = 0{,}3 \cdot P(E_1)$ :

P(E_1) + 0{,}75 \cdot P(E_1) - 0{,}3 \cdot P(E_1) = 0{,}87

1{,}45 \cdot P(E_1) = 0{,}87

P(E_1) = \frac{0{,}87}{1{,}45} = 0{,}6

Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento $E_1$ é 0,6.

Probabilidades de eventos E1 e E2 — só Evento E1: 0,6 - x; só Evento E2: 0,45 - x; Evento E1∩Evento E2: 0,3·0,6 = 0,18

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,3 corresponde à probabilidade condicional $P(E_1 \cap E_2 \mid E_1)$ , não à probabilidade do evento $E_1$ . O candidato que marca esta alternativa confunde a probabilidade condicional com a probabilidade do evento em si.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,4 corresponde à probabilidade condicional $P(E_1 \mid E_2)$ , não à probabilidade do evento $E_1$ . Novamente, há confusão entre probabilidade condicional e probabilidade marginal.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, a resolução do sistema de equações leva a $P(E_1) = 0{,}6$ . Este é o valor que satisfaz simultaneamente as três condições do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,7 não corresponde a nenhuma das probabilidades fornecidas nem ao resultado do sistema. Pode ser um distrator para quem erra na manipulação algébrica, por exemplo, somando 0,3 e 0,4 sem considerar a união.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,9 é um distrator que pode surgir de uma soma incorreta, como $0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}87$ ou de um erro na resolução do sistema. Não há base nas informações fornecidas para esse valor.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre probabilidade condicional e probabilidade marginal. Os valores 0,3 e 0,4 são as condicionais, não as probabilidades dos eventos. O candidato que não monta o sistema corretamente tende a marcar um desses valores. A chave é perceber que $P(E_1 \cap E_2 \mid E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}$ e que isso permite expressar a interseção em função de $P(E_1)$ .

PEGA ESSA DICA!

Em questões que fornecem probabilidades condicionais e a união, monte um sistema de equações: use a definição de probabilidade condicional para expressar a interseção de duas formas diferentes, iguale-as para relacionar $P(E_1)$ e $P(E_2)$ , e então aplique a regra da união. Esse método resolve a maioria dos problemas desse tipo.

Gabarito: letra C