Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — CESPE / CEBRASPE 2024

Distribuição de tarefas com restrições mínimas

Gabarito: letra A — 84 maneiras. A questão envolve distribuir 20 tarefas idênticas entre 4 pessoas, com cotas mínimas. Após garantir as quantidades mínimas, o problema reduz-se a encontrar o número de soluções inteiras não negativas de uma equação, resolvido pela fórmula de combinação com repetição (estrelas e barras).

Resolução passo a passo

Sejam (x_1, x_2, x_3, x_4) as quantidades de tarefas recebidas por cada escrivão. As restrições são:

• (x_1 \geq 2)

• (x_2 \geq 3)

• (x_3 \geq 4)

• (x_4 \geq 5)

• (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20)

Para eliminar as desigualdades, definimos novas variáveis:

• (y_1 = x_1 - 2 \geq 0)

• (y_2 = x_2 - 3 \geq 0)

• (y_3 = x_3 - 4 \geq 0)

• (y_4 = x_4 - 5 \geq 0)

Substituindo na equação original: [ (y_1 + 2) + (y_2 + 3) + (y_3 + 4) + (y_4 + 5) = 20 ] [ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20 - (2+3+4+5) = 20 - 14 = 6 ]

Agora, precisamos do número de soluções inteiras não negativas da equação (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 6). Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções é dado por: [ \binom{6 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{9}{3} = 84 ]

Portanto, existem 84 maneiras de distribuir as tarefas.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme cálculo, 84 é o número exato de soluções.

Alternativa B — ❌ Incorreta

120 corresponderia a (\binom{10}{3}) ou (\binom{6+5-1}{5-1}), que não se aplica ao problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

210 é (\binom{10}{4}) ou (\binom{6+6-1}{6-1}), sem relação com as restrições dadas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1.711 é um número muito alto, possivelmente oriundo de permutações ou combinações sem considerar as cotas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

4.845 também é elevado, talvez de (\binom{20}{4}) ou outra combinação inadequada.

Resumo: O único valor que corresponde ao cálculo correto é 84.