A polícia civil iniciará a emissão de um novo documento para a população, começando com 50 emissões no mês de janeiro de 2025. A cada mês subsequente, a quantidade emitida será o triplo da quantidade do mês anterior.Nessa situação hipotética, ao final do mês de julho de 2025, a polícia civil terá emitido, ao todo,
A18.200 documentos.
B36.450 documentos.
C54.650 documentos.
D109.350 documentos.
E164.000 documentos.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoC — 54.650 documentos.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 54.650 documentos (alternativa C).
A ideia por trás
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante, chamada razão. Aqui, a quantidade de documentos emitidos por mês forma uma PG de razão 3, começando com 50 em janeiro. A soma dos primeiros n termos de uma PG finita é dada por S_n = a_1 * (q^n - 1)/(q - 1), onde a_1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos. Essa fórmula soma todos os termos da sequência, o que é exatamente o que o problema pede: o total acumulado até julho, não apenas a emissão de um mês isolado.
O que a questão dá
primeiro termo (janeiro) = 50 documentos
razão = 3 (cada mês é o triplo do anterior)
período: janeiro a julho de 2025 = 7 meses
O que queremos: o total de documentos emitidos ao final de julho de 2025
Passo 1 — Identificar os dados da PG
Antes de calcular a soma, precisamos reconhecer que a sequência é uma PG e extrair dela o primeiro termo, a razão e o número de termos. Isso é o ponto de partida para aplicar a fórmula correta.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o número de meses: de janeiro a julho são 7 meses, não 6. Contar nos dedos ajuda: jan, fev, mar, abr, mai, jun, jul = 7.
Passo 2 — Escrever a fórmula da soma da PG
Como queremos o total acumulado de todos os meses, precisamos da fórmula que soma os termos de uma PG finita. Essa fórmula é a ferramenta certa para somar rapidamente sem precisar listar todos os termos.
Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por S_n = a_1 * (q^n - 1)/(q - 1). Essa fórmula é derivada da soma de uma série geométrica e é a única que soma todos os termos de uma vez.
De onde vem cada valor: = passo 1: 50 · = passo 1: 3 · = passo 1: 7
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair 1 no numerador ou no denominador, ou usar n = 6 em vez de 7.
Passo 3 — Calcular a potência 3^7
A fórmula exige o valor de q^n, que aqui é 3^7. Precisamos calcular essa potência para substituir na fórmula.
Por que esta fórmula: Potência é uma multiplicação repetida: 3^7 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3. Calcular passo a passo evita erros.
De onde vem cada valor: = passo 1: razão · = passo 1: número de meses
NÃO CAIA NESSA!
Errar a potência, por exemplo, calcular 3^6 = 729 em vez de 2187. Confira a multiplicação: 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729, 3^7=2187.
Passo 4 — Substituir os valores na fórmula
Com a potência calculada, agora podemos substituir todos os valores na fórmula da soma para obter o total.
Por que esta fórmula: Substituir os valores na fórmula é o passo que transforma a expressão genérica em uma conta numérica.
De onde vem cada valor: = passo 1: primeiro termo · = passo 3: 3^7 · = constante da fórmula · = passo 1: razão
NÃO CAIA NESSA!
Trocar a ordem: colocar 1 - 3 no denominador, o que daria negativo. A fórmula é q - 1, então 3 - 1 = 2.
Passo 5 — Resolver a subtração no numerador
Precisamos simplificar a expressão antes de multiplicar. Subtrair 1 de 2187 é uma operação simples que prepara a divisão.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = constante
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair, usando 2187 direto.
Passo 6 — Resolver a subtração no denominador
O denominador também precisa ser simplificado. Aqui, 3 - 1 = 2, que será usado na divisão.
De onde vem cada valor: = passo 1: razão · = constante
NÃO CAIA NESSA!
Usar 3 - 1 = 3, confundindo com a razão.
Passo 7 — Dividir 2186 por 2
Agora temos a fração 2186/2. Precisamos dividir para simplificar antes de multiplicar por 50.
De onde vem cada valor: = passo 5 · = passo 6
NÃO CAIA NESSA!
Errar a divisão, por exemplo, 2186/2 = 1093, mas alguns podem calcular 1093.5 se esquecerem que é divisão exata.
Passo 8 — Multiplicar 50 por 1093
Última operação: multiplicar o primeiro termo pelo resultado da fração. Isso dá o total de documentos emitidos.
De onde vem cada valor: = passo 1: primeiro termo · = passo 7
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 50, ou errar a multiplicação: 50 * 1093 = 54650, mas alguns podem calcular 5465 se esquecerem do zero.