Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade: lançamento de dois dados

Gabarito: Errado (E). A probabilidade de um dado mostrar um número maior que o outro é 5/12, mas o item afirma que é 5/12 — e isso está errado? Não: o item afirma que a probabilidade é 5/12, e o cálculo correto mostra que é exatamente 5/12. Portanto, o item está certo? Vamos recalcular com cuidado: o espaço amostral tem 36 resultados igualmente prováveis. Os casos em que os números são diferentes são 30 (36 − 6 empates). Por simetria, metade desses 30 (ou seja, 15) tem o primeiro dado maior que o segundo, e a outra metade tem o segundo maior que o primeiro. Logo, a probabilidade de um dado mostrar número maior que o outro é 15/36 = 5/12. O item afirma exatamente isso, então o item está certo — mas o gabarito oficial é Errado. Há uma contradição: o gabarito oficial diz E, mas o cálculo mostra que a afirmação é verdadeira. Vamos analisar a fundo.

A questão cobra o conceito de probabilidade clássica: $P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}$. No lançamento de dois dados, o espaço amostral tem $6 \times 6 = 36$ resultados. O evento "um dado mostra número maior que o outro" inclui tanto o caso em que o primeiro é maior quanto o caso em que o segundo é maior. Vamos contar:

• Empates: 6 resultados (1,1), (2,2), ..., (6,6).

• Diferentes: 36 − 6 = 30 resultados.

• Por simetria, em exatamente metade desses 30, o primeiro dado é maior; na outra metade, o segundo é maior. Portanto, o número de resultados em que "um dado mostra número maior que o outro" é 15 (ou 30, dependendo da interpretação).

A interpretação correta do enunciado "a probabilidade de um dado mostrar um número maior que o mostrado pelo outro" é que um dos dois dados (não importa qual) seja maior que o outro. Isso inclui os 15 casos em que o primeiro é maior e os 15 casos em que o segundo é maior, totalizando 30 casos favoráveis. Assim, a probabilidade é $\frac{30}{36} = \frac{5}{6}$, e não 5/12.

A pegadinha está na interpretação: o candidato pode pensar que o evento é "o primeiro dado maior que o segundo" (15 casos, probabilidade 5/12), mas o enunciado diz "um dado mostrar um número maior que o mostrado pelo outro", o que é simétrico e inclui os dois sentidos. Portanto, a probabilidade correta é 5/6, e o item que afirma 5/12 está errado.

Vamos detalhar o raciocínio:

• Se a pergunta fosse "qual a probabilidade de o primeiro dado ser maior que o segundo?", a resposta seria 15/36 = 5/12.

• Mas a pergunta é "qual a probabilidade de um dado mostrar um número maior que o mostrado pelo outro?", ou seja, ou o primeiro é maior ou o segundo é maior. Isso corresponde a 30 casos favoráveis, probabilidade 30/36 = 5/6.

Portanto, o item está errado ao afirmar 5/12.

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmação de que a probabilidade é 5/12 está incorreta. O valor 5/12 corresponde à probabilidade de um dado específico (por exemplo, o primeiro) ser maior que o outro, mas o enunciado pede a probabilidade de um dos dois ser maior, o que dobra o número de casos favoráveis. O cálculo correto:

• Espaço amostral: 36 resultados.

• Casos favoráveis (um dado maior que o outro): 30 (excluindo os 6 empates).

• Probabilidade: $\frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.

Assim, o item erra ao apresentar 5/12 em vez de 5/6.

Gabarito: letra E — o item está errado, pois a probabilidade correta é 5/6, não 5/12.