Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Teorema de Bayes: probabilidade de o teste positivo indicar a doença

Gabarito: ✅ CERTO. A probabilidade de uma pessoa com resultado positivo realmente ter a doença é de 25%, exatamente como afirma o item. Isso é obtido pelo Teorema de Bayes: $P(D|+) = \frac{P(+|D) \cdot P(D)}{P(+|D) \cdot P(D) + P(+|\bar{D}) \cdot P(\bar{D})} = \frac{0{,}95 \times 0{,}05}{0{,}95 \times 0{,}05 + 0{,}15 \times 0{,}95} = 0{,}25$.

A questão cobra a aplicação direta do Teorema de Bayes, que é a ferramenta para inverter uma probabilidade condicional: conhecemos a chance de o teste dar positivo dado que a pessoa tem (ou não) a doença, e queremos a chance de a pessoa ter a doença dado que o teste deu positivo. O ponto central é que a probabilidade prévia (prevalência) de 5% é baixa, e o teste tem uma taxa de falso positivo de 15% — que, embora pareça pequena, é grande quando comparada à prevalência. Por isso, a maioria dos positivos vem de pessoas sem a doença, e a probabilidade final fica bem abaixo da sensibilidade de 95%.

Vamos aos cálculos com os dados do enunciado:

• $P(D) = 0{,}05$ (probabilidade prévia de ter a doença);

• $P(\bar{D}) = 0{,}95$ (probabilidade de não ter a doença);

• $P(+|D) = 0{,}95$ (sensibilidade: positivo dado que tem a doença);

• $P(+|\bar{D}) = 0{,}15$ (falso positivo: positivo dado que não tem a doença).

Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de o teste dar positivo é:

Agora, pelo Teorema de Bayes:

Portanto, o item está certo.

Gabarito: ✅ CERTO.