Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade geométrica em um hexágono regular

Gabarito: CERTO. A probabilidade pedida é a razão entre a área da região formada pelos setores circulares de raio 1 centrados nos vértices do hexágono e a área total do hexágono. Como cada ângulo interno do hexágono regular é 120°, os seis setores juntos formam dois círculos completos de raio 1, cuja área é $2\pi$. A área do hexágono de lado 4 é $24\sqrt{3}$. Assim, a probabilidade é $\frac{2\pi}{24\sqrt{3}} = \frac{\pi}{12\sqrt{3}}$, que é exatamente o valor apresentado no item.

A questão combina dois temas: probabilidade geométrica (razão entre áreas) e geometria plana do hexágono regular. Vamos por partes. Primeiro, a ideia central: quando se escolhe um ponto ao acaso dentro de uma figura, a probabilidade de ele pertencer a uma região específica é a razão entre a área dessa região e a área total da figura. Isso é uma aplicação direta da definição clássica de probabilidade, onde o espaço amostral é contínuo e a medida é a área.

A região favorável é o conjunto de pontos que estão a até 1 unidade de distância de algum vértice. Para cada vértice, isso define um círculo de raio 1 centrado nele. No entanto, como o ponto deve estar dentro do hexágono, a região favorável é a interseção desses círculos com o hexágono. A chave é perceber que, dentro do hexágono, cada um desses círculos aparece como um setor circular com ângulo igual ao ângulo interno do hexágono, que é 120°.

Por que 120°? O ângulo interno de um hexágono regular é dado por $\frac{(n-2) \times 180°}{n} = \frac{4 \times 180°}{6} = 120°$. Como o círculo de raio 1 centrado em um vértice é cortado pelos dois lados adjacentes do hexágono, a parte que fica dentro do hexágono é exatamente um setor de 120°. Como há 6 vértices, temos 6 setores de 120° cada. Juntos, eles somam $6 \times 120° = 720°$, que equivale a dois círculos completos (360° cada). Portanto, a área favorável total é $2 \times \pi \times 1^2 = 2\pi$.

Agora, a área do hexágono regular de lado $\ell = 4$. Um hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros de lado 4. A área de um triângulo equilátero de lado $\ell$ é $\frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$. Assim, a área de um desses triângulos é $\frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. Multiplicando por 6, obtemos a área total do hexágono: $6 \times 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$.

Finalmente, a probabilidade é:

Esse é exatamente o valor indicado no item. Portanto, o item está CERTO.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

O item afirma que a probabilidade é $\frac{\pi}{12\sqrt{3}}$. Como demonstrado, a área favorável é $2\pi$ (seis setores de 120° formando dois círculos completos) e a área total do hexágono é $24\sqrt{3}$. A razão é exatamente $\frac{2\pi}{24\sqrt{3}} = \frac{\pi}{12\sqrt{3}}$. Portanto, o item está correto.

Gabarito: CERTO