Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Probabilidade
Código
ce180439
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Prefeitura de Aracaju - SE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor - Disciplina: Matemática
No que se refere a cálculo de probabilidade, julgue o próximo item.Suponha que, em um evento, oito pessoas estejam programadas para se sentar em uma mesa circular, tal que três delas não podem se sentar uma ao lado da outra, mas não haja restrição caso duas dessas três pessoas se sentem lado a lado. Nessa situação, a probabilidade de distribuir os lugares de forma que essas três pessoas se sentem juntas é 1/8.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Probabilidade: Permutação Circular com Restrição
Gabarito: Errado (E). A probabilidade de as três pessoas se sentarem juntas em uma mesa circular com 8 lugares não é 1/8. O cálculo correto envolve permutação circular: o total de disposições é (8-1)! = 7! = 5040, e o número de disposições favoráveis (as três juntas) é 3! × (6-1)! = 6 × 120 = 720. Assim, a probabilidade é 720/5040 = 1/7, e não 1/8.
O problema envolve dois conceitos combinados: permutação circular e probabilidade clássica. Vamos entender cada um.
Permutação circular: Quando elementos são dispostos em um círculo, as rotações são consideradas equivalentes. Para n elementos distintos, o número de permutações circulares é (n-1)!. Isso porque fixamos um elemento como referência e permutamos os demais ao redor dele.
Probabilidade clássica: A probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis, desde que todos os casos sejam igualmente prováveis.
A restrição do enunciado ("três delas não podem se sentar uma ao lado da outra, mas não haja restrição caso duas dessas três pessoas se sentem lado a lado") é uma informação que, na prática, não altera o cálculo da probabilidade pedida. O evento de interesse é "as três pessoas se sentarem juntas", e a probabilidade é calculada sobre o espaço amostral de todas as disposições possíveis das 8 pessoas na mesa circular.
Vamos ao cálculo:
Total de disposições possíveis (espaço amostral):
Com 8 pessoas em uma mesa circular, o número de permutações circulares é (8-1)! = 7! = 5040.
Disposições favoráveis (as três pessoas juntas):
Trate as três pessoas como um único bloco. Agora temos 6 elementos para dispor em círculo: o bloco e as outras 5 pessoas.
O número de permutações circulares desses 6 elementos é (6-1)! = 5! = 120.
Dentro do bloco, as 3 pessoas podem ser permutadas entre si de 3! = 6 maneiras.
Portanto, o número de disposições favoráveis é 3! × 5! = 6 × 120 = 720.
Probabilidade:
A probabilidade correta é 1/7, não 1/8. O item está errado.
Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO
A afirmação de que a probabilidade é 1/8 está incorreta. O erro está no cálculo do espaço amostral: o candidato pode ter usado 8! (permutação linear) em vez de 7! (permutação circular), ou pode ter calculado a probabilidade de forma equivocada. O valor correto é 1/7, como demonstrado.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre permutação linear e circular. Em uma mesa circular, o número total de disposições de 8 pessoas é (8-1)! = 7!, e não 8!. Se o candidato usar 8! no denominador, encontrará 720/40320 = 1/56, e não 1/8. O valor 1/8 pode surgir de um raciocínio incorreto, como considerar que a probabilidade de uma pessoa específica estar ao lado de outra é 2/7, e generalizar erroneamente. A chave é lembrar que, em problemas de mesa circular, fixamos um elemento para eliminar as rotações equivalentes.