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Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaFunções
Código
ce180452
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Prefeitura de Aracaju - SE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor - Disciplina: Matemática

        Na prática usual trabalha-se com funções como expressões algébricas, abordagem que deixa implícitos dois outros elementos importantes do conceito de função: seu domínio e seu contradomínio. Nessa abordagem, quando se faz referência ao domínio da função, presume-se que o contradomínio seja o conjunto dos números reais e que o domínio seja o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido; isto é, um número real estará no domínio da função se satisfizer as condições de existência das operações presentes na expressão algébrica tal que esta resulte em um elemento do contradomínio.

De acordo com essas informações, julgue o item seguinte.O domínio da função y = (2x² + 15)¹/² consiste de todo o conjunto dos números reais.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Domínio de funções com raiz quadrada

Gabarito: letra C (Certo). O domínio da função y=(2x2+15)1/2y = (2x^2 + 15)^{1/2} é todo o conjunto dos números reais, pois o radicando 2x2+152x^2 + 15 é sempre positivo para qualquer valor real de xx, não havendo restrição de existência da raiz quadrada.

O texto-base estabelece que, na prática usual, o domínio de uma função é o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido, ou seja, um número real estará no domínio se satisfizer as condições de existência das operações presentes na expressão. Para uma raiz de índice par, a condição de existência é que o radicando seja maior ou igual a zero.

Analisando o radicando 2x2+152x^2 + 15:

  • O termo 2x22x^2 é sempre maior ou igual a zero, pois o quadrado de qualquer número real é não negativo e o coeficiente 2 é positivo.

  • Somando 15, temos que 2x2+15≥15>02x^2 + 15 \geq 15 > 0 para todo xx real.

Portanto, o radicando é sempre positivo, nunca se anula e nunca é negativo. A condição de existência da raiz quadrada é satisfeita para qualquer número real, e o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Caso

Condição do radicando (2x2+152x^2 + 15)

Resultado para o domínio

x∈Rx \in \mathbb{R} qualquer

2x2≥0⇒2x2+15≥15>02x^2 \geq 0 \Rightarrow 2x^2 + 15 \geq 15 > 0

Radicando sempre positivo → raiz definida

xx tal que 2x2+15<02x^2 + 15 < 0

2x2<−152x^2 < -15 (impossível, pois 2x2≥02x^2 \geq 0)

Inviável — nenhum real satisfaz

xx tal que 2x2+15=02x^2 + 15 = 0

2x2=−152x^2 = -15 (impossível, pois 2x2≥02x^2 \geq 0)

Inviável — nenhum real satisfaz

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, 2x2+15≥152x^2 + 15 \geq 15 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, o que garante que o radicando é sempre positivo. Assim, a raiz quadrada está sempre definida, e o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.

Alternativa E — ❌ Errado

A afirmação de que o domínio não consiste em todo o conjunto dos números reais está incorreta. Não há nenhum valor real de xx que torne o radicando negativo, pois 2x22x^2 é sempre não negativo e 15 é positivo. A condição de existência da raiz quadrada (radicando ≥0\geq 0) é satisfeita para todos os reais.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre radicando sempre positivo e radicando que pode ser negativo. Em funções como y=xy = \sqrt{x}, o domínio é restrito (x≥0x \geq 0), mas aqui o termo 2x22x^2 garante que o radicando nunca é negativo. O candidato que aplica a regra geral sem verificar o caso concreto marca "Errado" por reflexo.

PEGA ESSA DICA!

Para determinar o domínio de uma função com raiz de índice par, resolva a inequação "radicando ≥0\geq 0". Se a inequação resultar em uma sentença sempre verdadeira (como 2x2+15≥02x^2 + 15 \geq 0), o domínio é R\mathbb{R}. Se resultar em uma sentença sempre falsa, o domínio é vazio. Se resultar em uma inequação do tipo x≥ax \geq a ou x≤bx \leq b, o domínio é um intervalo.

Gabarito: letra C

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