Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2024

Domínio e contradomínio de uma função

Gabarito: ERRADO. O domínio da função $y = x^2 - 1$ pode ser expandido para o conjunto dos números complexos, desde que o contradomínio também seja alterado para $ mathbb{C}$. A afirmação do item é falsa porque a definição de função não impõe que domínio e contradomínio sejam subconjuntos dos reais — eles podem ser quaisquer conjuntos, inclusive os complexos.

O texto-base deixa claro que, na prática, trabalha-se com funções como expressões algébricas, presumindo-se que o contradomínio seja o conjunto dos números reais e que o domínio seja o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido. Essa é apenas uma convenção para simplificar o estudo, não uma limitação matemática. A definição formal de função é: dados dois conjuntos $A$ e $B$ não vazios, uma função $f: A \to B$ associa cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$. Nada impede que $A$ e $B$ sejam conjuntos de números complexos.

Para a função $y = x^2 - 1$, se tomarmos $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, a expressão $x^2 - 1$ está definida para todo número complexo $x$, pois a potenciação e a subtração são operações válidas em $\mathbb{C}$. Portanto, o domínio pode ser expandido para $\mathbb{C}$ sem nenhum problema, desde que o contradomínio também seja $\mathbb{C}$.

A pegadinha da banca está em confundir a convenção prática (domínio real máximo) com uma impossibilidade matemática. O candidato que lê o texto-base e pensa "o domínio é o maior subconjunto dos reais" pode concluir erroneamente que o domínio não pode sair dos reais. Mas o texto-base fala apenas da abordagem usual, não de uma restrição conceitual.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o domínio da função $y = x^2 - 1$ não pode ser expandido para os complexos, mesmo alterando o contradomínio. Isso é falso: a definição de função permite que domínio e contradomínio sejam quaisquer conjuntos. A expressão $x^2 - 1$ é perfeitamente calculável para todo $x \in \mathbb{C}$, então a expansão é possível. A alternativa erra ao transformar uma convenção didática em uma regra absoluta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta nega a impossibilidade: o domínio pode ser expandido para os complexos, desde que o contradomínio também seja alterado. Isso está de acordo com a definição formal de função, que não restringe os conjuntos a subconjuntos dos reais. A função $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definida por $f(x) = x^2 - 1$ é válida, pois para todo complexo $x$ existe um único complexo $y = x^2 - 1$.

Gabarito: letra E