Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce180454

MatemáticaFunções

Código: ce180454
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: Prefeitura de Aracaju - SE
Ano: 2024
Nível: Superior

Cargo: Professor - Disciplina: Matemática

Na prática usual trabalha-se com funções como expressões algébricas, abordagem que deixa implícitos dois outros elementos importantes do conceito de função: seu domínio e seu contradomínio. Nessa abordagem, quando se faz referência ao domínio da função, presume-se que o contradomínio seja o conjunto dos números reais e que o domínio seja o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido; isto é, um número real estará no domínio da função se satisfizer as condições de existência das operações presentes na expressão algébrica tal que esta resulte em um elemento do contradomínio.

De acordo com essas informações, julgue o item seguinte.A função y = ((x + 2)/(x – 2))¹/² tem o domínio no intervalo dado por (–∞, –2] ∪ (2, +∞).

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EErrado

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GabaritoE — Errado

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Domínio de funções com raiz quadrada

Gabarito: letra E (ERRADO). O domínio da função $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$ é $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$ , e não $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$ como afirma o item — a diferença está no extremo $x = -2$ : ele pertence ao domínio, pois o radicando se anula ( $\frac{-2+2}{-2-2} = \frac{0}{-4} = 0$ ), e raiz quadrada de zero é definida. O item está errado porque exclui o ponto $x = -2$ do domínio, apresentando o intervalo aberto $(-\infty, -2)$ em vez do fechado $(-\infty, -2]$ .

O texto-base estabelece a regra do domínio máximo: o domínio é o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido, respeitando as condições de existência das operações. Para esta função, há duas restrições a considerar:

O denominador não pode ser zero: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ .
O radicando (dentro da raiz quadrada) não pode ser negativo: $\frac{x+2}{x-2} \geq 0$ .

A segunda condição é uma inequação quociente. Para resolvê-la, analisamos o sinal do numerador e do denominador separadamente:

Numerador $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ . Para $x > -2$ , o numerador é positivo; para $x < -2$ , é negativo.
Denominador $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Para $x > 2$ , o denominador é positivo; para $x < 2$ , é negativo.

O quociente é não negativo quando numerador e denominador têm o mesmo sinal (ou o numerador é zero). Isso ocorre em dois intervalos:

$x \leq -2$ : numerador $\leq 0$ e denominador $< 0$ → quociente $\geq 0$ .
$x > 2$ : numerador $> 0$ e denominador $> 0$ → quociente $> 0$ .

No ponto $x = -2$ , o quociente é $\frac{0}{-4} = 0$ , e $\sqrt{0} = 0$ é um número real válido. Portanto, $x = -2$ deve ser incluído no domínio. Já $x = 2$ é excluído porque o denominador se anula, tornando a expressão indefinida.

Assim, o domínio correto é:

D = (-\infty, -2] \cup (2, +\infty)

O item apresentou exatamente esse intervalo, mas com o primeiro intervalo aberto em $-2$ : $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ . Essa pequena diferença — o colchete ] em vez de ] — exclui o ponto $x = -2$ , que é um valor válido. Por isso, o item está errado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre intervalo aberto e fechado. O candidato que resolve a inequação $\frac{x+2}{x-2} \geq 0$ e esquece de verificar o ponto onde o numerador se anula ( $x = -2$ ) tende a marcar o intervalo como aberto, caindo na armadilha. Lembre-se: raiz quadrada de zero é definida — o ponto que zera o radicando pertence ao domínio, desde que não zere o denominador.

Domínio de função com raiz quadrada — só x ≤ -2: inclui -2; só x > 2: exclui 2; x ≤ -2∩x > 2: vazio

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

O item afirma que o domínio é $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$ , mas o correto é $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$ . O erro está em excluir o ponto $x = -2$ do domínio. Nesse ponto, o radicando é $\frac{-2+2}{-2-2} = \frac{0}{-4} = 0$ , e $\sqrt{0} = 0$ é um valor real perfeitamente definido. A condição de existência da raiz quadrada é que o radicando seja não negativo ( $\geq 0$ ), e não estritamente positivo ( $> 0$ ). Portanto, o intervalo correto é fechado em $-2$ : $(-\infty, -2]$ . O item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2024

Domínio de funções com raiz quadrada

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO