Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce180456

MatemáticaFunções

Código: ce180456
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: Prefeitura de Aracaju - SE
Ano: 2024
Nível: Superior

Cargo: Professor - Disciplina: Matemática

Na prática usual trabalha-se com funções como expressões algébricas, abordagem que deixa implícitos dois outros elementos importantes do conceito de função: seu domínio e seu contradomínio. Nessa abordagem, quando se faz referência ao domínio da função, presume-se que o contradomínio seja o conjunto dos números reais e que o domínio seja o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido; isto é, um número real estará no domínio da função se satisfizer as condições de existência das operações presentes na expressão algébrica tal que esta resulte em um elemento do contradomínio.

De acordo com essas informações, julgue o item seguinte.As funções definidas a partir das expressões algébricas y = (x²)¹/² e y = (x¹/²)² são iguais.

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Funções: igualdade e domínio

Gabarito: letra E (ERRADO). As funções $y = (x^2)^{1/2}$ e $y = (x^{1/2})^2$ não são iguais, pois possuem domínios diferentes. A primeira tem domínio $ℝ$ (todos os reais), enquanto a segunda tem domínio $ℝ_+$ (reais não negativos), pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. A igualdade de funções exige que tenham o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma lei de associação.

O texto-base destaca que, na prática, trabalha-se com funções como expressões algébricas, deixando implícitos o domínio e o contradomínio. Nessa abordagem, o domínio é o maior subconjunto dos reais para o qual a expressão faz sentido, ou seja, um número real estará no domínio se satisfizer as condições de existência das operações presentes na expressão. É exatamente essa condição que diferencia as duas funções.

Análise das funções

1ª função: $y = (x^2)^{1/2}$

A expressão $(x^2)^{1/2}$ é equivalente a $\sqrt{x^2}$ . Para qualquer número real $x$ , o valor de $x^2$ é sempre não negativo, e a raiz quadrada de um número não negativo é sempre um número real. Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais ( $D = \mathbb{R}$ ). Além disso, $\sqrt{x^2} = |x|$ , ou seja, a função é equivalente a $y = |x|$ .

2ª função: $y = (x^{1/2})^2$

A expressão $x^{1/2}$ é equivalente a $\sqrt{x}$ . A raiz quadrada de um número real só existe se o número for não negativo ( $x \geq 0$ ). Portanto, o domínio é o conjunto dos números reais não negativos ( $D = \mathbb{R}_+$ ). Para $x \geq 0$ , temos $(\sqrt{x})^2 = x$ , ou seja, a função é equivalente a $y = x$ .

Por que não são iguais?

Para que duas funções sejam consideradas iguais, é necessário que:

Tenham o mesmo domínio;
Tenham o mesmo contradomínio;
Para cada elemento do domínio, produzam o mesmo valor (mesma lei de associação).

Como as funções têm domínios diferentes ( $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}_+$ ), elas não são iguais, mesmo que para valores de $x \geq 0$ ambas produzam o mesmo resultado ( $|x| = x$ para $x \geq 0$ ).

Igualdade de funções: Requisitos (Mesmo domínio, Mesmo contradomínio, Mesma lei de associação); f(x) = (x²)^1/2 (Domínio: ℝ, Equivale a |x|); g(x) = (x^1/2)² (Domínio: ℝ₊, Equivale a x); Conclusão (Domínios diferentes, Não são iguais)

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre simplificação algébrica e igualdade de funções. O candidato apressado simplifica $(x^2)^{1/2} = x$ e $(x^{1/2})^2 = x$ , concluindo que são iguais. Porém, a simplificação correta da primeira é $|x|$ , e não $x$ . Além disso, mesmo que ambas simplificassem para $x$ , os domínios seriam diferentes, o que já impediria a igualdade. A pegadinha está em ignorar o domínio, que é parte essencial do conceito de função.

Resumo

Função	Expressão	Domínio	Lei de formação
$f(x)$	$(x^2)^{1/2}$	$\mathbb{R}$	$f(x) = √(x^2) =	x	$
$g(x)$	$(x^{1/2})^2$	$\mathbb{R}_+$	$g(x) = (\sqrt{x})^2 = x$

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2024

Funções: igualdade e domínio

Análise das funções

Por que não são iguais?

Resumo