Questão de Raciocínio Lógico — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade: retirada sem reposição de duas crianças com 8 anos

Gabarito: ERRADO (letra E). A probabilidade de ambas as crianças terem 8 anos é calculada pela razão entre o número de pares formados apenas por crianças de 8 anos e o total de pares possíveis entre as 40 crianças. Como o valor exato depende da frequência de crianças com 8 anos na tabela (dado não disponível), o que se pode afirmar com certeza é que a probabilidade não é 1/2 — a menos que a tabela indique que exatamente 20 das 40 crianças têm 8 anos, o que seria um caso extremamente específico e improvável. O método de resolução é o que segue.

O problema envolve probabilidade sem reposição: escolhemos duas crianças distintas de um grupo de 40, e queremos que ambas tenham 8 anos. A palavra-chave é "ambas" — isso significa que o evento é a interseção de dois eventos dependentes: a primeira criança tem 8 anos E a segunda também tem 8 anos, dado que a primeira já foi escolhida.

A regra fundamental é a regra do E (multiplicação de probabilidades condicionais):

onde $P(B|A)$ é a probabilidade de a segunda criança ter 8 anos, sabendo que a primeira já tinha 8 anos. Como não há reposição, o espaço amostral diminui a cada escolha.

Vamos chamar de $k$ o número de crianças com 8 anos na sala (dado da tabela). O total de crianças é 40. Então:

• Primeira escolha: a probabilidade de sortear uma criança de 8 anos é $\frac{k}{40}$.

• Segunda escolha: como uma criança de 8 anos já foi retirada, restam $k-1$ crianças de 8 anos entre 39 crianças totais. A probabilidade condicional é $\frac{k-1}{39}$.

Multiplicando:

Essa é a fórmula geral. Para que essa probabilidade fosse igual a $\frac{1}{2}$, precisaríamos de:

Resolvendo a equação do segundo grau $k^2 - k - 780 = 0$, obtemos $k \approx 28,4$ (a raiz positiva). Como $k$ deve ser um número inteiro (quantidade de crianças), não existe valor inteiro de $k$ que satisfaça exatamente a igualdade. Portanto, a probabilidade nunca será exatamente $1/2$ para qualquer frequência inteira de crianças com 8 anos. Isso já demonstra que a afirmação é ERRADA, independentemente do valor da tabela.

Vamos verificar com um exemplo: se $k = 20$ (metade das crianças tem 8 anos), a probabilidade seria:

Bem menor que $1/2$. Se $k = 28$, teríamos $\frac{28 \times 27}{1560} = \frac{756}{1560} = \frac{63}{130} \approx 0,4846$, ainda menor que $1/2$. E se $k = 29$, $\frac{29 \times 28}{1560} = \frac{812}{1560} = \frac{203}{390} \approx 0,5205$, já maior que $1/2$. Ou seja, a probabilidade salta de um valor abaixo de $1/2$ para um valor acima, sem nunca ser exatamente $1/2$.

A pegadinha clássica da banca é o candidato calcular $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (pensando com reposição) ou simplesmente dividir o número de crianças de 8 anos pelo total, ignorando a segunda retirada. Outra armadilha é esquecer que, sem reposição, o denominador e o numerador mudam na segunda escolha.

Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO

A afirmação de que a probabilidade é igual a $1/2$ está incorreta. O cálculo correto é $\frac{k(k-1)}{1560}$, onde $k$ é o número de crianças com 8 anos. Como demonstrado, não existe valor inteiro de $k$ que torne essa expressão igual a $1/2$. Mesmo que a tabela indicasse um número específico, a probabilidade seria um valor diferente de $1/2$ — a menos que $k$ fosse um número não inteiro, o que é impossível. Portanto, o item é ERRADO.

Gabarito: letra E (ERRADO).