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Questão de Matemática — Progressões — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaProgressões
Código
ce182828
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Prefeitura de Camaçari - BA
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Assistente Administrativo
O setor de comunicação da prefeitura publicou um vídeo na Internet que, no primeiro dia, teve 4.096 visualizações e, em cada dia subsequente, o número de visualizações registradas era sempre a metade do número do dia anterior. Nesse caso, ao final do 10.º dia, a quantidade total de visualizações que o vídeo obteve foi igual a
  1. A4.
  2. B8.
  3. C8.176.
  4. D8.184.
  5. E8.188.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8.184.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Progressão Geométrica: soma dos termos

Gabarito: letra D (8.184). O número de visualizações forma uma progressão geométrica (PG) de primeiro termo 4.096 e razão 1/2, pois cada dia subsequente registra a metade do dia anterior. A quantidade total ao final do 10.º dia é a soma dos 10 primeiros termos dessa PG, que, pela fórmula da soma de PG finita, resulta em 8.184.

A questão cobra o reconhecimento de uma progressão geométrica decrescente e o cálculo da soma de seus termos. O primeiro dia teve 4.096 visualizações; no segundo, a metade (2.048); no terceiro, a metade disso (1.024); e assim por diante, até o 10.º dia. Perceba que cada termo é obtido multiplicando o anterior por 1/2 — exatamente a definição de PG com razão q=12q = \frac{1}{2}.

A fórmula da soma dos nn primeiros termos de uma PG finita é:

Sn=a1⋅(qn−1)q−1S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}

Substituindo a1=4096a_1 = 4096, q=12q = \frac{1}{2} e n=10n = 10:

S10=4096⋅((12)10−1)12−1=4096⋅(11024−1)−12=4096⋅(−10231024)−12S_{10} = \frac{4096 \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{10} - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{4096 \cdot \left(\frac{1}{1024} - 1\right)}{-\frac{1}{2}} = \frac{4096 \cdot \left(-\frac{1023}{1024}\right)}{-\frac{1}{2}}
S10=−4096⋅10231024−12=−4095−12=4095⋅2=8190S_{10} = \frac{-4096 \cdot \frac{1023}{1024}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-4095}{-\frac{1}{2}} = 4095 \cdot 2 = 8190

Esse é o total de visualizações do 1.º ao 10.º dia. Mas atenção: o enunciado pede a quantidade ao final do 10.º dia, ou seja, a soma acumulada de todos os dias até o 10.º. O cálculo acima já entrega essa soma: 8.190. No entanto, o gabarito oficial é 8.184, o que indica que a banca considerou a soma dos dias 1 a 10 de outra forma — vamos verificar.

Na verdade, a soma dos 10 primeiros termos é:

4096 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 = 8184

Confira: 4096 + 2048 = 6144; + 1024 = 7168; + 512 = 7680; + 256 = 7936; + 128 = 8064; + 64 = 8128; + 32 = 8160; + 16 = 8176; + 8 = 8184. Portanto, a soma correta é 8.184, e a fórmula aplicada acima cometeu um erro de sinal na simplificação. Vamos refazer com cuidado:

S10=4096⋅((12)10−1)12−1=4096⋅(11024−1)−12=4096⋅(−10231024)−12S_{10} = \frac{4096 \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{10} - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{4096 \cdot \left(\frac{1}{1024} - 1\right)}{-\frac{1}{2}} = \frac{4096 \cdot \left(-\frac{1023}{1024}\right)}{-\frac{1}{2}}
=−4096⋅10231024−12=−4095−12=4095⋅2=8190= \frac{-4096 \cdot \frac{1023}{1024}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-4095}{-\frac{1}{2}} = 4095 \cdot 2 = 8190

Aqui está o erro: 4096⋅10231024=4096⋅10231024=4⋅1023=40924096 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{4096 \cdot 1023}{1024} = 4 \cdot 1023 = 4092, não 4095. Corrigindo:

S10=−4092−12=4092⋅2=8184S_{10} = \frac{-4092}{-\frac{1}{2}} = 4092 \cdot 2 = 8184

Perfeito, agora bate com o gabarito. A soma dos 10 primeiros termos é 8.184.

  1. 1Identificar PG decrescente
  2. 2Listar os 10 termos
  3. 3Somar termo a termo
  4. 4Total = 8.184
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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 4 corresponde ao número de visualizações do 10.º dia isoladamente (4096 ÷ 2⁹ = 8, na verdade; 4 seria o 11.º dia). A alternativa confunde o termo individual com a soma acumulada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 8 é o número de visualizações do 10.º dia (4096 ÷ 2⁹ = 8). A alternativa apresenta apenas o último termo da sequência, não a soma total.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 8.176 corresponde à soma dos 9 primeiros dias (4096 + 2048 + ... + 16 = 8176). A alternativa esquece de incluir o 10.º dia (8 visualizações), ficando 8.176 em vez de 8.184.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma dos 10 primeiros termos da PG (4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8) é exatamente 8.184. Aplicando a fórmula da soma de PG finita com a1=4096a_1 = 4096, q=12q = \frac{1}{2} e n=10n = 10, obtém-se:

S10=4096⋅((12)10−1)12−1=8184S_{10} = \frac{4096 \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{10} - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = 8184

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 8.188 não corresponde a nenhuma soma parcial relevante da sequência. Provavelmente é um distrator gerado por erro de arredondamento ou soma incorreta dos termos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o termo individual e a soma acumulada. O candidato apressado pode calcular apenas o 10.º termo (8) ou a soma dos 9 primeiros dias (8.176), caindo nas alternativas B e C. A palavra-chave é "ao final do 10.º dia", que exige a soma de todos os dias até o 10.º.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de PG com razão fracionária, liste os primeiros termos e some diretamente quando o número de termos for pequeno (como aqui, 10 termos). Isso evita erros de fórmula e é mais rápido. Se preferir a fórmula, confira sempre a simplificação algébrica — erros de sinal são comuns.

Gabarito: letra D

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