Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade: retiradas sem reposição

Gabarito: letra C. A probabilidade de retirar duas bolas de cores diferentes é 12/23. Isso porque há dois caminhos mutuamente exclusivos — azul depois vermelha ou vermelha depois azul — e, como a retirada é sem reposição, as probabilidades condicionais mudam a cada etapa: $P(A\cap V) = \frac{12}{24} \times \frac{12}{23}$ e $P(V\cap A) = \frac{12}{24} \times \frac{12}{23}$, cuja soma é $\frac{12}{23}$.

A questão trabalha com probabilidade condicional e o princípio multiplicativo para eventos dependentes. Como as bolas são retiradas sem reposição, o espaço amostral diminui após a primeira retirada — é exatamente isso que torna os eventos dependentes e exige o uso de probabilidade condicional. O evento "cores diferentes" pode ocorrer de duas formas: (azul, vermelha) ou (vermelha, azul). Como essas duas sequências são mutuamente exclusivas, a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho.

Vamos calcular passo a passo:

1. Total de bolas: 12 azuis + 12 vermelhas = 24 bolas.

2. Probabilidade de (azul, vermelha):

   • Primeira bola azul: $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

   • Segunda bola vermelha, dado que a primeira foi azul: restam 23 bolas, das quais 12 são vermelhas → $\frac{12}{23}$.

   • Pelo princípio multiplicativo: $\frac{1}{2} \times \frac{12}{23} = \frac{6}{23}$.

3. Probabilidade de (vermelha, azul):

   • Primeira bola vermelha: $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

   • Segunda bola azul, dado que a primeira foi vermelha: restam 23 bolas, das quais 12 são azuis → $\frac{12}{23}$.

   • Pelo princípio multiplicativo: $\frac{1}{2} \times \frac{12}{23} = \frac{6}{23}$.

4. Probabilidade total: $\frac{6}{23} + \frac{6}{23} = \frac{12}{23}$.

A pegadinha clássica aqui é esquecer que a retirada é sem reposição e tratar os eventos como independentes, calculando $\frac{12}{24} \times \frac{12}{24} = \frac{1}{4}$ para cada caminho e somando $\frac{1}{2}$ — o que levaria à alternativa E. Mas, sem reposição, o denominador da segunda retirada é 23, não 24.

Alternativa A — ❌ Incorreta

6/23 corresponde à probabilidade de um único caminho específico (azul, vermelha) ou (vermelha, azul), mas não considera que o evento "cores diferentes" pode ocorrer de duas maneiras. O candidato que calcula apenas um caminho e esquece de somar o outro cai nessa alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

11/23 não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Pode ser um distrator numérico sem fundamento — não há combinação de probabilidades que resulte nesse valor. É um número aleatório para confundir.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

12/23 é exatamente a soma das probabilidades dos dois caminhos mutuamente exclusivos: $\frac{6}{23} + \frac{6}{23} = \frac{12}{23}$. Reflete corretamente a dependência entre as retiradas (sem reposição) e a união dos dois eventos favoráveis.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1/4 é o resultado que se obteria se as retiradas fossem com reposição (eventos independentes): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ para cada caminho, e a soma $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ — mas isso não corresponde ao enunciado, que diz explicitamente sem reposição. É a pegadinha mais comum.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1/2 seria a resposta se as retiradas fossem com reposição (eventos independentes): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ para cada caminho, e a soma $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Mas, sem reposição, o denominador da segunda retirada é 23, não 24, o que reduz a probabilidade para $\frac{12}{23}$.

Gabarito: letra C