Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

R² ajustado em regressão linear múltipla

Gabarito: letra C. O R² ajustado é calculado pela fórmula $\bar{R}^2 = 1 - \frac{n-1}{n-p-1}(1-R^2)$, em que $n$ é o tamanho da amostra e $p$ é o número de coeficientes do modelo (incluindo o intercepto). Com $n=46$, $p=10$ e $R^2=0{,}80$, temos $\bar{R}^2 = 1 - \frac{45}{35}(0{,}20) = 1 - 0{,}2571 = 0{,}7429 \approx 0{,}75$.

O coeficiente de determinação ($R^2$) mede a proporção da variabilidade total da variável dependente que é explicada pelo modelo. Ele é dado por $R^2 = \frac{SQM}{SQT} = 1 - \frac{SQR}{SQT}$, em que $SQM$ é a soma de quadrados do modelo, $SQR$ a soma de quadrados dos resíduos e $SQT$ a soma de quadrados total. O problema do $R^2$ é que ele sempre aumenta quando adicionamos variáveis explicativas, mesmo que elas não tenham poder explicativo real — por isso, para comparar modelos com diferentes números de coeficientes, usa-se o $R^2$ ajustado, que penaliza a inclusão de variáveis desnecessárias.

A fórmula do $R^2$ ajustado (também chamado de Adjusted R Square) é:

em que $n$ é o tamanho da amostra e $p$ é o número de coeficientes do modelo (incluindo o intercepto). Note que o denominador $n-p-1$ é o grau de liberdade do erro. Essa fórmula é a mais comum em provas de concurso, mas algumas bancas usam a versão com $n-p$ no denominador (quando $p$ é o número de variáveis regressoras, sem contar o intercepto). Nesta questão, o enunciado diz "dez coeficientes", o que inclui o intercepto, então $p=10$.

Substituindo os valores:

Portanto, o R² ajustado é aproximadamente 0,75, o que corresponde à letra C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,68 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Se o candidato usasse a fórmula com $n-p$ no denominador (em vez de $n-p-1$), obteria $1 - \frac{45}{36}(0{,}20) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$, que também não dá 0,68. Esse valor provavelmente resulta de um erro de aritmética ou do uso incorreto dos graus de liberdade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,72 seria obtido se o candidato usasse $n-p$ no denominador e $p$ como número de variáveis regressoras (sem intercepto), mas mesmo assim o cálculo correto com $p=9$ (se fossem 9 regressoras + intercepto) daria $1 - \frac{45}{37}(0{,}20) = 1 - 0{,}2432 = 0{,}7568$, próximo de 0,75, não 0,72. Portanto, 0,72 não é um resultado plausível com os dados fornecidos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo correto com a fórmula padrão resulta em $\bar{R}^2 \approx 0{,}75$. O valor exato é 0,7429, que arredondado para duas casas decimais é 0,74, mas a banca considerou 0,75 (provavelmente arredondando para cima ou usando a fórmula com $n-p$ no denominador, que dá exatamente 0,75). De qualquer forma, é a alternativa que mais se aproxima do valor correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,80 é o próprio $R^2$ simples, sem ajuste. A pegadinha aqui é que o candidato pode pensar que o R² ajustado é igual ao R² quando o modelo tem muitos coeficientes, mas na verdade o ajuste sempre reduz o valor (a menos que $p=0$). Como $p=10$ e $n=46$, a penalização é significativa, resultando em 0,75.

Gabarito: letra C.