Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

Desvio padrão do estimador de mínimos quadrados em regressão linear simples

Gabarito: letra B. O desvio padrão do estimador de mínimos quadrados ordinários do coeficiente angular é dado por $\sqrt{\text{Var}(\hat{a})} = \sqrt{\dfrac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}}$. Com $\sigma^2 = 100$, $n = 101$ e desvio padrão amostral de $x$ igual a 2, temos $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (n-1) \cdot s_x^2 = 100 \cdot 4 = 400$, resultando em $\sqrt{100/400} = 0{,}5$.

A questão cobra a fórmula da variância do estimador do coeficiente angular em regressão linear simples. O modelo é $y = ax + b + \varepsilon$, com $\varepsilon$ tendo média zero e variância $\sigma^2 = 100$. O estimador de mínimos quadrados ordinários de $a$ é $\hat{a} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Sua variância, sob as premissas usuais (erros independentes, homocedásticos e não correlacionados com $x$), é:

O denominador é a soma dos quadrados dos desvios de $x$ em relação à sua média, que se relaciona com a variância amostral $s_x^2$ por $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (n-1) \cdot s_x^2$. O enunciado fornece o desvio padrão amostral $s_x = 2$ e o tamanho da amostra $n = 101$. Portanto:

Substituindo na fórmula da variância:

E o desvio padrão é a raiz quadrada:

A pegadinha clássica da banca é usar o desvio padrão amostral de $x$ diretamente no denominador, esquecendo de multiplicar por $(n-1)$ para obter a soma dos quadrados. Outra armadilha é confundir a variância do erro ($\sigma^2 = 100$) com o desvio padrão ($\sigma = 10$), o que levaria a um resultado diferente. Aqui, a banca fornece a variância do erro diretamente, então não há essa confusão, mas é importante estar atento.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,25 é a variância do estimador, não o desvio padrão. O candidato que calcula $\text{Var}(\hat{a}) = 100/400 = 0{,}25$ e para por aí, sem extrair a raiz quadrada, cai nessa alternativa. O desvio padrão é a raiz da variância, ou seja, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o desvio padrão do estimador é $\sqrt{100/400} = 0{,}5$. A alternativa está correta porque aplica corretamente a fórmula da variância do estimador de mínimos quadrados, usando a soma dos quadrados dos desvios de $x$ calculada a partir do desvio padrão amostral e do tamanho da amostra.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1 seria obtido se o denominador fosse $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 100$, ou seja, se o candidato usasse apenas $n \cdot s_x^2 = 101 \cdot 4 = 404$ (aproximadamente 400) ou se esquecesse de multiplicar por $(n-1)$ e usasse $s_x^2 = 4$ diretamente, resultando em $100/4 = 25$, cuja raiz é 5. Nenhum desses caminhos leva a 1. O valor 1 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 4 seria obtido se o candidato calculasse $\text{Var}(\hat{a}) = 100/25 = 4$, usando $s_x^2 = 4$ no denominador sem multiplicar por $(n-1)$, e depois tirasse a raiz, resultando em 2. Ou se confundisse a variância do erro com o desvio padrão ($\sigma = 10$) e calculasse $10/\sqrt{400} = 0{,}5$, o que daria 0,5, não 4. O valor 4 não corresponde a nenhum cálculo correto com os dados fornecidos.

Gabarito: letra B