Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce185142

Coeficiente de determinação (R²) e a estatística t na regressão linear simples

Gabarito: letra B (R² = 0,50). Em um modelo de regressão linear simples com intercepto, a estatística t para testar a hipótese nula de que o coeficiente angular é zero relaciona-se diretamente com o coeficiente de determinação pela fórmula $t = \sqrt{\frac{(n-2)R^2}{1-R^2}}$ . Com n = 402 e t = 20, isolando R² obtém-se exatamente 0,50. Essa relação é um resultado clássico da análise de regressão, derivado da equivalência entre o teste t e o teste F na regressão simples.

O coeficiente de determinação (R²) mede a proporção da variabilidade total da variável dependente (Y) que é explicada pela variável independente (X) no modelo. Ele varia entre 0 e 1, sendo mais próximo de 1 quanto melhor o ajuste. Na regressão linear simples, o R² também é igual ao quadrado do coeficiente de correlação linear entre X e Y.

A estatística t para o coeficiente angular $\hat{\beta}$ é dada por:

t = \frac{\hat{\beta}}{s_{\hat{\beta}}}

onde $s_{\hat{\beta}}$ é o erro padrão da estimativa. Na regressão simples, essa estatística pode ser expressa em função do R² e do tamanho amostral n:

t = \sqrt{\frac{(n-2)R^2}{1-R^2}}

Essa relação decorre do fato de que o quadrado da estatística t é igual à estatística F do teste de significância global da regressão, e na regressão simples o F é dado por $F = \frac{R^2/1}{(1-R^2)/(n-2)}$ .

Substituindo os valores fornecidos:

n = 402, logo n − 2 = 400
t = 20

Elevando ambos os lados ao quadrado:

t^2 = \frac{(n-2)R^2}{1-R^2} \Rightarrow 400 = \frac{400 \cdot R^2}{1-R^2}

Dividindo ambos os lados por 400:

1 = \frac{R^2}{1-R^2}

Multiplicando em cruz:

1 - R^2 = R^2 \Rightarrow 1 = 2R^2 \Rightarrow R^2 = 0,5

Portanto, o coeficiente de determinação é 0,50.

Caso	R² testado	t calculado (n−2=400)	Resultado
A	0,44	√(400·0,44/0,56) ≈ 17,7	Inviável (≠ 20)
B	0,50	√(400·0,50/0,50) = 20	Consistente (t = 20)
C	0,95	√(400·0,95/0,05) ≈ 87,2	Inviável (≠ 20)
D	0,99	√(400·0,99/0,01) ≈ 199	Inviável (≠ 20)

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,44 não satisfaz a relação. Se R² = 0,44, teríamos $t = \sqrt{\frac{400 \cdot 0,44}{0,56}} \approx \sqrt{314,29} \approx 17,7$ , que não é 20. Esse número não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, R² = 0,50 é o único valor que, com n = 402, produz t = 20. A relação $t^2 = \frac{(n-2)R^2}{1-R^2}$ é resolvida exatamente para R² = 0,5.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R² = 0,95 daria um t muito maior: $t = \sqrt{\frac{400 \cdot 0,95}{0,05}} = \sqrt{7600} \approx 87,2$ , bem distante de 20. Esse valor é típico de um ajuste quase perfeito, mas não condiz com a estatística fornecida.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R² = 0,99 resultaria em $t = \sqrt{\frac{400 \cdot 0,99}{0,01}} = \sqrt{39600} \approx 199$ , um valor absurdamente maior que 20. A alternativa tenta explorar a ideia de que um t alto implica R² muito próximo de 1, mas a relação exata mostra que t = 20 com n = 402 corresponde a R² = 0,50.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a intuição de que um t muito alto (20) deve indicar um R² altíssimo (0,95 ou 0,99). Mas o R² depende do tamanho amostral: com n = 402, mesmo um R² moderado de 0,50 já produz um t de 20. O candidato que não conhece a fórmula $t = \sqrt{\frac{(n-2)R^2}{1-R^2}}$ tende a chutar um valor alto. Memorize essa relação — ela é recorrente em provas de regressão.

PEGA ESSA DICA!

Quando a questão fornecer t (ou F) e n, e pedir R², use a relação $t^2 = \frac{(n-2)R^2}{1-R^2}$ . Isole R²: $R^2 = \frac{t^2}{t^2 + (n-2)}$ . Com t = 20 e n − 2 = 400, temos $R^2 = \frac{400}{400+400} = 0,5$ . Esse atalho resolve em segundos.

Gabarito: letra B