GabaritoB — 25
Gabarito: letra B — a conta chega a 25 unidades (alternativa B).
Em concorrência perfeita, a firma é tomadora de preços: ela vende cada unidade pelo mesmo preço de mercado, então a receita marginal (o quanto a receita aumenta ao vender uma unidade a mais) é constante e igual ao preço. O custo marginal é o quanto o custo total aumenta ao produzir uma unidade a mais. Para maximizar o lucro, a firma produz até o ponto em que o custo de produzir a última unidade se iguala à receita que ela traz: se o custo marginal fosse menor que o preço, valeria a pena produzir mais; se fosse maior, produzir menos. A condição é RMg = CMg, que aqui vira P = CMg. O custo marginal é a derivada da função de custo total em relação à quantidade. Como a função de custo total é uma parábola com concavidade para cima, o custo marginal é crescente, garantindo que o ponto de igualdade seja um máximo de lucro. Nesta questão, precisamos derivar a função de custo total, igualar o resultado ao preço e resolver a equação para achar q.
função custo total: C(q) = 0,4q² – 10q + 30
preço de mercado: P = 10 unidades monetárias
O que queremos: a quantidade q que maximiza o lucro da firma em concorrência perfeita
O custo marginal é a derivada do custo total em relação à quantidade. Derivar significa encontrar a taxa de variação instantânea: quanto o custo aumenta quando a produção aumenta em uma unidade. É essa taxa que comparamos com o preço para decidir a quantidade ótima.
Por que esta fórmula: A derivada de um polinômio é feita termo a termo: para cada termo a·q^n, a derivada é n·a·q^(n-1). O termo constante (30) tem derivada zero, pois não varia com q.
De onde vem cada valor: = derivada de 0,4q²: 2 × 0,4 = 0,8 · = derivada de -10q: -10 · = derivada de 30 é 0, não aparece
Esquecer de multiplicar o expoente pelo coeficiente: derivar 0,4q² como 0,4q em vez de 0,8q.
Em concorrência perfeita, a receita marginal é igual ao preço (RMg = P). A condição de lucro máximo é RMg = CMg, então aqui temos P = CMg. Essa igualdade define a quantidade que maximiza o lucro.
Por que esta fórmula: É a condição de maximização de lucro para uma firma competitiva: produzir até que o custo da última unidade seja exatamente o preço que ela recebe.
De onde vem cada valor: = enunciado: preço = 10 · = passo 1: 0,8q – 10
Confundir com a condição de custo médio mínimo ou usar o custo total diretamente.
A equação do passo anterior tem q dos dois lados; precisamos isolá-la para descobrir o valor numérico da quantidade ótima.
Por que esta fórmula: Resolvemos a equação linear: somamos 10 aos dois lados para eliminar o -10, depois dividimos por 0,8 para deixar q sozinho.
De onde vem cada valor: = passo 2: 10 = 0,8q – 10, somando 10 nos dois lados · = passo 1: coeficiente de q no custo marginal
Errar a aritmética: 20 ÷ 0,8 = 25, não 2,5 nem 250.
Resposta: 25 unidades (alternativa B)
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