Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade: interseção de eventos com dados percentuais

Gabarito: letra D (4/7). A probabilidade de selecionar uma servidora mulher que conviva com animais de estimação é a razão entre o número de mulheres que convivem com pets e o total de servidores. Como a pesquisa fornece apenas percentuais, a chave é atribuir um total hipotético (100 homens e 100 mulheres) para converter as porcentagens em quantidades e, então, aplicar a definição clássica de probabilidade: $P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}$.

O enunciado mistura duas informações: a porcentagem de homens/mulheres que convivem com animais (36% e 48%) e a porcentagem que não convive (10% e 6%). Repare que esses números não são complementares — 36% + 10% = 46% e 48% + 6% = 54% —, o que indica que a pesquisa também abrange servidores que não responderam ou que a soma não fecha em 100%. Isso é uma armadilha: o candidato pode tentar usar os 10% e 6% para calcular o total, mas eles são irrelevantes para a pergunta. O que importa é apenas a porcentagem de mulheres que convivem com animais (48%) e a proporção entre homens e mulheres no total de servidores.

Para resolver, vamos supor que o total de servidores seja composto por 100 homens e 100 mulheres (essa suposição é válida porque a questão não informa a proporção real entre os sexos, e o gabarito depende apenas das porcentagens relativas). Assim:

• Mulheres que convivem com animais: 48% de 100 = 48 mulheres.

• Total de servidores: 100 + 100 = 200 servidores.

A probabilidade pedida é:

Esse resultado (6/25 = 24%) não aparece nas alternativas. Isso revela que a suposição de 100 homens e 100 mulheres não é a correta. A banca espera que o candidato perceba que a proporção entre homens e mulheres não é 1:1 — ela deve ser deduzida a partir dos dados de quem não convive com animais.

Vamos refazer com a informação correta. Se 10% dos homens não convivem com animais, então 90% dos homens convivem. Se 6% das mulheres não convivem, então 94% das mulheres convivem. Mas o enunciado diz que 36% dos homens convivem e 48% das mulheres convivem. Há uma contradição aparente: 36% ≠ 90% e 48% ≠ 94%. Isso significa que os percentuais de convivência e não convivência não se referem ao mesmo grupo — ou seja, a pesquisa pode ter categorias mutuamente exclusivas (convive, não convive, não respondeu) ou os números foram fornecidos de forma a permitir o cálculo da proporção entre os sexos.

Na verdade, a interpretação correta é que 36% dos homens convivem e 10% dos homens não convivem — esses dois grupos são complementares dentro do universo masculino? Não, pois 36% + 10% = 46%, faltando 54% que não se enquadram em nenhuma das duas categorias (talvez não tenham respondido). O mesmo para as mulheres: 48% + 6% = 54%, faltando 46%.

A chave da questão está em perceber que a soma dos percentuais de homens (36% + 10% = 46%) e a soma dos percentuais de mulheres (48% + 6% = 54%) somam 100% quando combinadas: 46% + 54% = 100%. Isso sugere que o total de servidores é composto por 46% de homens e 54% de mulheres. Ou seja, a proporção entre homens e mulheres é de 46:54, que simplificada por 2 dá 23:27.

Agora, vamos calcular a probabilidade pedida. Seja o total de servidores = 100 (para facilitar). Então:

• Homens: 46 servidores.

• Mulheres: 54 servidoras.

• Mulheres que convivem com animais: 48% de 54 = 0,48 × 54 = 25,92 ≈ 26 (mas vamos manter a fração exata).

Na verdade, o cálculo exato é:

Isso também não bate com as alternativas. Então a interpretação correta é outra.

Vamos reler o enunciado com atenção: "36% dos homens e 48% das mulheres convivem com animais de estimação, enquanto 10% dos homens e 6% das mulheres não convivem". A palavra "enquanto" sugere que os dois pares de informações se referem a subgrupos diferentes da pesquisa. Ou seja, a pesquisa pode ter sido feita em duas etapas: primeiro perguntou-se sobre convivência (36% dos homens sim, 48% das mulheres sim) e depois, separadamente, sobre não convivência (10% dos homens não, 6% das mulheres não). Mas isso não faz sentido estatisticamente.

A interpretação que leva ao gabarito 4/7 é a seguinte: considere que o total de servidores é composto por uma proporção de homens (H) e mulheres (M) tal que a soma das porcentagens de convivência e não convivência, ponderadas pela proporção de cada sexo, totalize 100%. Ou seja:

• Homens que convivem: 36% de H

• Homens que não convivem: 10% de H

• Mulheres que convivem: 48% de M

• Mulheres que não convivem: 6% de M

A soma de todos esses grupos deve ser o total de servidores (H + M). Então:

0,36H + 0,10H + 0,48M + 0,06M = H + M 0,46H + 0,54M = H + M 0,46H + 0,54M = H + M

Subtraindo 0,46H + 0,54M de ambos os lados:

0 = 0,54H + 0,46M

Isso daria H e M negativos, o que é impossível. Portanto, essa interpretação também não funciona.

A solução correta, que leva a 4/7, é bem mais simples e não usa os dados de não convivência. Vamos pensar: a questão pede a probabilidade de selecionar uma mulher que conviva com animais. Isso é a interseção entre os eventos "ser mulher" e "conviver com animais". A probabilidade é:

Mas não temos P(Mulher) diretamente. No entanto, podemos usar os dados de outra forma. Considere que a pesquisa foi feita com um total de servidores, e os percentuais dados são do total de servidores, não de cada sexo separadamente. Ou seja:

• 36% do total são homens que convivem.

• 48% do total são mulheres que convivem.

• 10% do total são homens que não convivem.

• 6% do total são mulheres que não convivem.

Somando: 36% + 48% + 10% + 6% = 100%. Isso fecha perfeitamente! Então a pesquisa classificou todos os servidores em quatro categorias mutuamente exclusivas e exaustivas.

Agora, a probabilidade de selecionar uma mulher que conviva com animais é simplesmente a porcentagem correspondente: 48% = 48/100 = 12/25. Mas 12/25 não está nas alternativas. Então essa interpretação também não é a correta.

Vamos tentar a interpretação que leva a 4/7. Se a resposta é 4/7 ≈ 0,5714, isso significa que a probabilidade é de aproximadamente 57,14%. Isso é maior que 48%, o que é impossível se 48% é a porcentagem de mulheres que convivem. A menos que a porcentagem de mulheres no total seja maior que 100%? Não.

Na verdade, a resposta 4/7 sugere que o total de servidores é 7 partes, e as mulheres que convivem são 4 partes. Isso implicaria que as mulheres que convivem representam 4/7 do total, ou seja, 57,14%. Mas o enunciado diz que 48% das mulheres convivem. Para que 48% das mulheres corresponda a 4/7 do total, a proporção de mulheres no total seria:

0,48 × M = (4/7) × T M = (4/7) × T / 0,48 = (4/7) × T × (100/48) = (400/336) × T ≈ 1,19 × T

Isso daria mais mulheres que o total, o que é impossível.

Portanto, a interpretação correta deve ser outra. Vamos considerar que os percentuais se referem a subgrupos e que precisamos encontrar a proporção entre homens e mulheres. A soma 36% + 10% = 46% (homens) e 48% + 6% = 54% (mulheres) indica que, do total de servidores, 46% são homens e 54% são mulheres. Agora, a probabilidade de selecionar uma mulher que conviva é:

P = (porcentagem de mulheres que convivem) × (porcentagem de mulheres no total) = 0,48 × 0,54 = 0,2592 = 25,92%

Isso não bate com 4/7.

Vamos tentar outra abordagem: talvez os percentuais de convivência (36% e 48%) sejam do total de servidores, e os percentuais de não convivência (10% e 6%) também sejam do total de servidores. Então:

• Homens que convivem: 36% do total

• Mulheres que convivem: 48% do total

• Homens que não convivem: 10% do total

• Mulheres que não convivem: 6% do total

Somando: 36 + 48 + 10 + 6 = 100%. Isso fecha. Agora, a probabilidade de selecionar uma mulher que conviva é 48% = 48/100 = 12/25. Mas 12/25 = 0,48, que não está nas opções. As opções são frações com denominadores 8, 4, 7, 7, 8. Nenhuma é 12/25.

Então a resposta 4/7 deve vir de outra interpretação. Vamos pensar: talvez a questão queira que o candidato use apenas os dados de convivência, ignorando os de não convivência, e considere que o total de servidores é a soma dos que convivem: 36% + 48% = 84%. Mas isso não faz sentido.

Outra possibilidade: a questão pode ter um erro de digitação, e o gabarito 4/7 é obtido de outra forma. Vamos tentar: se considerarmos que a probabilidade de ser mulher é 4/7 e a probabilidade de conviver dado que é mulher é 48%, então a interseção seria (4/7) × 0,48 = 0,2743, que não é 4/7.

Na verdade, a resposta 4/7 pode ser obtida se considerarmos que o total de servidores é 7 partes, e as mulheres que convivem são 4 partes. Isso implicaria que as mulheres que convivem representam 4/7 do total. Mas o enunciado diz que 48% das mulheres convivem. Para que isso seja possível, a proporção de mulheres no total seria:

0,48 × M = (4/7) × T M = (4/7) × T / 0,48 = (4/7) × (100/48) × T = (400/336) × T ≈ 1,19 × T

Impossível.

Vamos tentar a interpretação de que os percentuais de convivência são do total de cada sexo, e os percentuais de não convivência também são do total de cada sexo. Então, para os homens: 36% convivem e 10% não convivem, totalizando 46%. Isso significa que 54% dos homens não responderam ou estão em outra categoria. Para as mulheres: 48% convivem e 6% não convivem, totalizando 54%, então 46% das mulheres não responderam.

Agora, a proporção entre homens e mulheres no total de servidores pode ser encontrada igualando as porcentagens de não resposta? Não, isso não é possível.

Vamos tentar a abordagem mais simples: a questão pode ser resolvida considerando que o total de servidores é 100, e os percentuais são do total. Então:

• Homens que convivem: 36

• Mulheres que convivem: 48

• Homens que não convivem: 10

• Mulheres que não convivem: 6

Total: 36 + 48 + 10 + 6 = 100. A probabilidade de selecionar uma mulher que conviva é 48/100 = 12/25. Mas 12/25 não está nas opções. As opções são: 5/8 = 0,625, 3/4 = 0,75, 3/7 ≈ 0,4286, 4/7 ≈ 0,5714, 3/8 = 0,375. Nenhuma é 0,48.

Então a resposta 4/7 ≈ 0,5714 não corresponde a 48%. A menos que a questão tenha um erro, ou a interpretação seja diferente.

Vamos tentar: talvez a probabilidade pedida seja a probabilidade de ser mulher dado que convive com animais. Ou seja, P(Mulher | Convive). Isso seria:

P(Mulher | Convive) = (número de mulheres que convivem) / (número total de pessoas que convivem) = 48 / (36 + 48) = 48/84 = 4/7.

Aí está! A resposta 4/7 é a probabilidade de a pessoa selecionada ser mulher, dado que ela convive com animais de estimação. Mas o enunciado pede "a probabilidade de que a pessoa selecionada seja mulher e conviva com animais de estimação", que é a interseção, não a condicional. No entanto, o gabarito oficial é D (4/7), então a banca interpretou como a condicional, ou o enunciado está mal redigido.

Na verdade, relendo o enunciado: "a probabilidade de que a pessoa selecionada seja mulher e conviva com animais de estimação é igual a". Isso é claramente a interseção P(Mulher ∩ Convive). Mas a resposta 4/7 é a condicional P(Mulher | Convive). Há uma ambiguidade, mas o gabarito é 4/7, então devemos seguir o gabarito.

Vamos confirmar o cálculo:

• Total de pessoas que convivem: 36% (homens) + 48% (mulheres) = 84% do total.

• Mulheres que convivem: 48% do total.

• Probabilidade de ser mulher, dado que convive: 48/84 = 4/7.

Portanto, a resposta é 4/7, letra D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

5/8 = 0,625. Esse valor não corresponde a nenhuma razão direta dos dados. Se o candidato calcular a probabilidade de ser mulher entre os que convivem, obteria 4/7, não 5/8. O 5/8 poderia surgir de um erro ao inverter a razão ou ao usar os dados de não convivência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3/4 = 0,75. Esse valor é muito alto. Poderia ser obtido se o candidato considerasse apenas as mulheres (48%) e os homens que convivem (36%) de forma incorreta, ou se confundisse a probabilidade de ser mulher entre todos os servidores (que seria 54/100 = 27/50, não 3/4).

Alternativa C — ❌ Incorreta

3/7 ≈ 0,4286. Esse valor é o complemento da resposta correta: 1 - 4/7 = 3/7. O candidato que calcular a probabilidade de ser homem, dado que convive, obteria 36/84 = 3/7. A banca coloca o complemento como distrator.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

4/7 ≈ 0,5714. A probabilidade de a pessoa selecionada ser mulher, dado que convive com animais, é a razão entre as mulheres que convivem (48%) e o total de pessoas que convivem (36% + 48% = 84%): 48/84 = 4/7. Essa é a interpretação que a banca adotou, mesmo que o enunciado diga "e" em vez de "dado que".

Alternativa E — ❌ Incorreta

3/8 = 0,375. Esse valor não corresponde a nenhuma razão direta. Poderia surgir de um erro ao calcular 36/96 ou algo similar, mas não tem base nos dados.

Gabarito: letra D (4/7).